1. Найдите угол между лучом ОА и положительной полу- осью Ох, если A (-1 3). 2. Решите треугольник АВС, если angle B = 30 deg , angle C = 105 , BC = 3sqrt(2) см. 3. Найдите косинус угла М треугольника KLM, если K(1; 7), L(- 2; 4) M(2; 0)

1. Чтобы найти угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, нам нужно сначала определить координаты точки A и вектор, направленный из точки O (0, 0) в точку A (-1, 3). Угол между векторам и положительной осью можно найти с помощью функции арктангенса. Мы можем использовать формулу: \[ \alpha = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \] Где \( x = -1 \) и \( y = 3 \). Подставляем значения: \[ \alpha = \arctan\left(\frac{3}{-1}\right) = \arctan(-3) \] Так как точка A находится во втором квадранте (где X отрицательный, а Y положительный), угол будет равен: \[ \alpha = 180^\circ + \arctan(-3) \] Приблизительно, значение арктангенса \(-3\) равно \(-71.57^\circ\). Таким образом, угол \(\alpha\) будет: \[ \alpha \approx 180^\circ - 71.57^\circ \approx 108.43^\circ \] Таким образом, угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох составляет примерно \( 108.43^\circ \). 2. Чтобы решить треугольник ABC, используем известные углы B и C, а также длину стороны BC. Мы можем найти угол A: \[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ \] Теперь, зная углы треугольника, можем использовать закон синусов для нахождения сторон AB и AC: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \] где: - \(a = BC\), - \(b = AC\), - \(c = AB\). Так как \(BC = 3\sqrt{2}\) и мы знаем углы: \[ \frac{3\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 30^\circ} = \frac{c}{\sin 105^\circ} \] Значения синусов: - \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), - \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), - \(\sin 105^\circ = \sin(90^\circ + 15^\circ) = \sin 15^\circ\). Подставляем: \[ \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6 \] Теперь найдем AB (сторона c): \[ c = 6 \cdot \sin 105^\circ \] Итак, вычисляем: \[ c = 6 \cdot \sin 105^\circ \approx 6 \cdot 0.9659 \approx 5.7954 см \] Теперь найдем AC (сторона b): \[ b = 6 \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot 0.5 = 3 см \] Таким образом, в треугольнике ABC: - AB ≈ 5.80 см, - AC = 3 см, - BC = 3√2 см. 3. Чтобы найти косинус угла M в треугольнике KLM, используем координаты точек K(1; 7), L(-2; 4) и M(2; 0). Сначала найдем длины сторон KL, KM и LM: Длина стороны KL: \[ KL = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] Длина стороны KM: \[ KM = \sqrt{(2 - 1)^2 + (0 - 7)^2} = \sqrt{(1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] Длина стороны LM: \[ LM = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] Теперь можем использовать закон косинусов: \[ \cos M = \frac{KL^2 + KM^2 - LM^2}{2 \cdot KL \cdot KM} \] Найдем значения: \[ KL^2 = 18, \quad KM^2 = 50, \quad LM^2 = 32 \] Теперь подставим: \[ \cos M = \frac{18 + 50 - 32}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{36}{30} = \frac{6}{5} = 0.6 \] Таким образом, косинус угла M составляет 0.6.