1. Найдите угол между лучом ОА и положительной полу- осью Ох, если A (-1 3). 2. Решите треугольник АВС, если angle B = 30 deg , angle C = 105 , BC = 3sqrt(2) см. 3. Найдите…

1. Чтобы найти угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, нам нужно сначала определить координаты точки A и вектор, направленный из точки O (0, 0) в точку A (-1, 3).

Угол между векторам и положительной осью можно найти с помощью функции арктангенса. Мы можем использовать формулу:

\[ \alpha = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \]

Где \( x = -1 \) и \( y = 3 \). Подставляем значения:

\[ \alpha = \arctan\left(\frac{3}{-1}\right) = \arctan(-3) \]

Так как точка A находится во втором квадранте (где X отрицательный, а Y положительный), угол будет равен:

\[ \alpha = 180^\circ + \arctan(-3) \]

Приблизительно, значение арктангенса \(-3\) равно \(-71.57^\circ\). Таким образом, угол \(\alpha\) будет:

\[ \alpha \approx 180^\circ - 71.57^\circ \approx 108.43^\circ \]

Таким образом, угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох составляет примерно \( 108.43^\circ \).

2. Чтобы решить треугольник ABC, используем известные углы B и C, а также длину стороны BC. Мы можем найти угол A:

\[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ \]

Теперь, зная углы треугольника, можем использовать закон синусов для нахождения сторон AB и AC:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

где:

• \(a = BC\),
• \(b = AC\),
• \(c = AB\).

Так как \(BC = 3\sqrt{2}\) и мы знаем углы:

\[ \frac{3\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 30^\circ} = \frac{c}{\sin 105^\circ} \]

Значения синусов:

• \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\),
• \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\),
• \(\sin 105^\circ = \sin(90^\circ + 15^\circ) = \sin 15^\circ\).

Подставляем:

\[ \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 6 \]

Теперь найдем AB (сторона c):

\[ c = 6 \cdot \sin 105^\circ \] Итак, вычисляем:

\[ c = 6 \cdot \sin 105^\circ \approx 6 \cdot 0.9659 \approx 5.7954 см \]

Теперь найдем AC (сторона b):

\[ b = 6 \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot 0.5 = 3 см \]

Таким образом, в треугольнике ABC:

• AB ≈ 5.80 см,
• AC = 3 см,
• BC = 3√2 см.

3. Чтобы найти косинус угла M в треугольнике KLM, используем координаты точек K(1; 7), L(-2; 4) и M(2; 0). Сначала найдем длины сторон KL, KM и LM:

Длина стороны KL:

\[ KL = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (4 - 7)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]

Длина стороны KM:

\[ KM = \sqrt{(2 - 1)^2 + (0 - 7)^2} = \sqrt{(1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Длина стороны LM:

\[ LM = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]

Теперь можем использовать закон косинусов:

\[ \cos M = \frac{KL^2 + KM^2 - LM^2}{2 \cdot KL \cdot KM} \]

Найдем значения:

\[ KL^2 = 18, \quad KM^2 = 50, \quad LM^2 = 32 \]

Теперь подставим:

\[ \cos M = \frac{18 + 50 - 32}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{36}{30} = \frac{6}{5} = 0.6 \]

Таким образом, косинус угла M составляет 0.6.