найти координаты и длину вектора a, если a=5m-9n, m {3;-2}, n {1;-2}
Чтобы найти координаты и длину вектора \( \mathbf{a} \), давайте начнем с того, что мы знаем.
Вектор \( \mathbf{a} \) задан как:
\[ \mathbf{a} = 5\mathbf{m} - 9\mathbf{n} \]
Где: \[ \mathbf{m} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \]
Теперь подставим векторы \( \mathbf{m} \) и \( \mathbf{n} \) в выражение для вектора \( \mathbf{a} \):
\[ \mathbf{a} = 5 \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} - 9 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \]
Давайте вычислим каждый из членов:
- \( 5 \mathbf{m} = 5 \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \\ -10 \end{pmatrix} \)
- \( 9 \mathbf{n} = 9 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ -18 \end{pmatrix} \)
Теперь вычтем вектор \( 9\mathbf{n} \) из \( 5\mathbf{m} \):
\[ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 15 \\ -10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 9 \\ -18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 - 9 \\ -10 + 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 8 \end{pmatrix} \]
Таким образом, координаты вектора \( \mathbf{a} \) равны \( (6, 8) \).
Теперь найдем длину вектора \( \mathbf{a} \). Длина вектора вычисляется по формуле:
\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
где \( x \) и \( y \) — это его координаты. Подставляем значения:
\[ |\mathbf{a}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]
Следовательно, длина вектора \( \mathbf{a} \) составляет \( 10 \) единиц.
В итоге:
- Координаты вектора \( \mathbf{a} = (6, 8) \)
- Длина вектора \( |\mathbf{a}| = 10 \) единиц.
