Чтобы найти координаты и длину вектора ( \mathbf{a} ), давайте начнем с того, что мы знаем.
Вектор ( \mathbf{a} ) задан как:
[
\mathbf{a} = 5\mathbf{m} - 9\mathbf{n}
]
Где:
[
\mathbf{m} = \begin{pmatrix} 3 \ -2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{n} = \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix}
]
Теперь подставим векторы ( \mathbf{m} ) и ( \mathbf{n} ) в выражение для вектора ( \mathbf{a} ):
[
\mathbf{a} = 5 \begin{pmatrix} 3 \ -2 \end{pmatrix} - 9 \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix}
]
Давайте вычислим каждый из членов:
- ( 5 \mathbf{m} = 5 \begin{pmatrix} 3 \ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 \ -10 \end{pmatrix} )
- ( 9 \mathbf{n} = 9 \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \ -18 \end{pmatrix} )
Теперь вычтем вектор ( 9\mathbf{n} ) из ( 5\mathbf{m} ):
[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 15 \ -10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 9 \ -18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 - 9 \ -10 + 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \ 8 \end{pmatrix}
]
Таким образом, координаты вектора ( \mathbf{a} ) равны ( (6, 8) ).
Теперь найдем длину вектора ( \mathbf{a} ). Длина вектора вычисляется по формуле:
[
|\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}
]
где ( x ) и ( y ) — это его координаты. Подставляем значения:
[
|\mathbf{a}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
]
Следовательно, длина вектора ( \mathbf{a} ) составляет ( 10 ) единиц.
В итоге:
- Координаты вектора ( \mathbf{a} = (6, 8) )
- Длина вектора ( |\mathbf{a}| = 10 ) единиц.
