x⁴-19x²-48=0

Решим уравнение \( x^4 - 19x^2 - 48 = 0 \) шаг за шагом.

1. Замена переменной. Условно обозначим \( y = x^2 \). Тогда уравнение можно переписать в следующем виде: \[ y^2 - 19y - 48 = 0 \]

2. Найдем корни уравнения. Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ay^2 + by + c = 0 \): \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -19 \), \( c = -48 \). Подставляем значения: \[ y = \frac{19 \pm \sqrt{(-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48)}}{2 \cdot 1} \] Вычислим дискриминант: \[ D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 361 + 192 = 553 \] Теперь подставим дискриминант в формулу: \[ y = \frac{19 \pm \sqrt{553}}{2} \]

3. Найдем значение \( y \). Получим два значения: \[ y_1 = \frac{19 + \sqrt{553}}{2}, \quad y_2 = \frac{19 - \sqrt{553}}{2} \]

4. Вернемся к переменной \( x \). Поскольку \( y = x^2 \), находим \( x \) из \( y \): \[ x^2 = y_1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm\sqrt{y_1} \] \[ x^2 = y_2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm\sqrt{y_2} \]

5. Получим окончательные решения:

   • Корни уравнения \( x = \sqrt{\frac{19 + \sqrt{553}}{2}} \) и \( x = -\sqrt{\frac{19 + \sqrt{553}}{2}} \)
   • Также \( x = \sqrt{\frac{19 - \sqrt{553}}{2}} \) и \( x = -\sqrt{\frac{19 - \sqrt{553}}{2}} \)

Это и есть все корни уравнения \( x^4 - 19x^2 - 48 = 0 \). Если есть еще вопросы или нужно больше помощи, не стесняйтесь спрашивать!