(x-3)(x-4)(x-5)<0

Чтобы решить неравенство \((x-3)(x-4)(x-5)<0\), давайте рассмотрим его шаг за шагом.

1. Найдем нули выражения: Нам нужно найти точки, в которых произведение равно нулю: \[ (x-3) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \] \[ (x-4) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \] \[ (x-5) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 5 \] Таким образом, нули функции: \(x = 3\), \(x = 4\), \(x = 5\).

2. Определим интервалы: Теперь мы можем разбить числовую прямую на интервалы, используя найденные нули:

   • \( (-\infty, 3) \)
   • \( (3, 4) \)
   • \( (4, 5) \)
   • \( (5, +\infty) \)

3. Проверим знак произведения в каждом интервале:

   • Для интервала \((-∞, 3)\), возьмем, к примеру, \(x = 2\): \((2-3)(2-4)(2-5) = (-1)(-2)(-3) < 0\) — отрицательный.
   • Для интервала \((3, 4)\), возьмем \(x = 3.5\): \((3.5-3)(3.5-4)(3.5-5) = (0.5)(-0.5)(-1.5) > 0\) — положительный.
   • Для интервала \((4, 5)\), возьмем \(x = 4.5\): \((4.5-3)(4.5-4)(4.5-5) = (1.5)(0.5)(-0.5) < 0\) — отрицательный.
   • Для интервала \((5, +\infty)\), возьмем \(x = 6\): \((6-3)(6-4)(6-5) = (3)(2)(1) > 0\) — положительный.

4. Подведем итоги: У нас есть следующие результаты:

   • В интервале \((-∞, 3)\) произведение отрицательно.
   • В интервале \((3, 4)\) произведение положительно.
   • В интервале \((4, 5)\) произведение отрицательно.
   • В интервале \((5, +\infty)\) произведение положительно.

5. Сформулируем ответ: Мы решаем неравенство \((x-3)(x-4)(x-5) < 0\). Следовательно, решением являются интервалы: \[ x \in (-∞, 3) \cup (4, 5) \]

Таким образом, окончательный ответ для неравенства \((x-3)(x-4)(x-5) < 0\) будет: \[ x \in (-\infty, 3) \cup (4, 5) \]