Для решения этой задачи начнем с обозначения сторон треугольника. Пусть стороны треугольника ABC равны (a), (b) и (c), где (a) — сторона, к которой проведена медиана, а (m_a) — длина медианы, проведенной к стороне (a).
Согласно условию, периметр треугольника ABC равен 21:
[
a + b + c = 21
]
Когда медиана (m_a) делит треугольник на два меньших треугольника, мы знаем, что периметры этих треугольников равны 16 и 15. Обозначим их как (P_1) и (P_2).
Так как одна из сторон (a) делит оба треугольника, мы можем записать:
[
P_1 = \frac{b + m_a + a}{2} = 16 \quad \Rightarrow \quad b + m_a + a = 32
]
[
P_2 = \frac{c + m_a + a}{2} = 15 \quad \Rightarrow \quad c + m_a + a = 30
]
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- (b + m_a + a = 32)
- (c + m_a + a = 30)
Из первого уравнения выразим (b):
[
b = 32 - m_a - a
]
Из второго уравнения выразим (c):
[
c = 30 - m_a - a
]
Теперь подставим эти выражения для (b) и (c) в уравнение для периметра:
[
a + (32 - m_a - a) + (30 - m_a - a) = 21
]
Соберем подобные:
[
32 + 30 - m_a - a - a = 21
]
[
62 - m_a - 2a = 21
]
Теперь из этого уравнения выразим (m_a):
[
m_a = 62 - 21 - 2a = 41 - 2a
]
Теперь необходимо найти значение (a). Используя уже выразившиеся (b) и (c):
[
b = 32 - (41 - 2a) - a
]
[
b = 32 - 41 + a + 2a = 3a - 9
]
И для (c):
[
c = 30 - (41 - 2a) - a
]
[
c = 30 - 41 + a + 2a = 3a - 11
]
Теперь, так как все стороны (a), (b) и (c) должны быть положительными, мы имеем систему:
- (3a - 9 > 0 \Rightarrow a > 3)
- (3a - 11 > 0 \Rightarrow a > \frac{11}{3} \approx 3.67)
С учетом, что (a) — целое число, минимально возможное значение (a) равно 4. При подстановке (a = 4):
[
m_a = 41 - 2 \cdot 4 = 41 - 8 = 33
]
[
b = 3 \cdot 4 - 9 = 12 - 9 = 3
]
[
c = 3 \cdot 4 - 11 = 12 - 11 = 1
]
Мы можем проверить:
[
4 + 3 + 1 = 21 \quad \text{(периметр исходного треугольника)}
]
Это отвечает всем условием задачи.
Таким образом, длина медианы равна (m_a = 33).
