найти производную функции 25x^30+5x/x^12-1
Чтобы найти производную функции \( f(x) = \frac{25x^{30} + 5x}{x^{12} - 1} \), нам понадобится использовать правило дифференцирования дроби, известное как правило частного.
Правило частного гласит, что если у нас есть функция в виде \(\frac{u(x)}{v(x)}\), то её производная \( f'(x) \) вычисляется по формуле:
\[ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \]
Где:
- \( u(x) = 25x^{30} + 5x \)
- \( v(x) = x^{12} - 1 \)
Теперь найдём производные \( u'(x) \) и \( v'(x) \).
Найдём \( u'(x) = \frac{d}{dx}(25x^{30} + 5x) \): \[ u'(x) = 25 \cdot 30 x^{29} + 5 \cdot 1 = 750x^{29} + 5 \]
Найдём \( v'(x) = \frac{d}{dx}(x^{12} - 1) \): \[ v'(x) = 12x^{11} \]
Теперь подставим \( u'(x) \), \( u(x) \), \( v'(x) \) и \( v(x) \) в формулу для производной:
\[ f'(x) = \frac{(750x^{29} + 5)(x^{12} - 1) - (25x^{30} + 5x)(12x^{11})}{(x^{12} - 1)^2} \]
Теперь упростим полученное выражение:
Умножим \( (750x^{29} + 5)(x^{12} - 1) \): \[ = 750x^{41} - 750x^{29} + 5x^{12} - 5 \]
Умножим \((25x^{30} + 5x)(12x^{11})\): \[ = 300x^{41} + 60x^{12} \]
Теперь подставим все это обратно в формулу для \( f'(x) \):
\[ f'(x) = \frac{(750x^{41} - 750x^{29} + 5x^{12} - 5) - (300x^{41} + 60x^{12})}{(x^{12} - 1)^2} \]
Упростим числитель:
\[ = \frac{(750x^{41} - 300x^{41}) + (-750x^{29}) + (5x^{12} - 60x^{12}) - 5}{(x^{12} - 1)^2} \] \[ = \frac{450x^{41} - 750x^{29} - 55x^{12} - 5}{(x^{12} - 1)^2} \]
Таким образом, мы нашли производную функции:
\[ f'(x) = \frac{450x^{41} - 750x^{29} - 55x^{12} - 5}{(x^{12} - 1)^2} \]
Если у вас есть дополнительные вопросы по этому материалу или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!
