Для решения уравнения ( \frac{x^2 - 10}{x + 2} = \frac{3x}{x + 2} ) сначала необходимо избавиться от дробей. Так как в данном уравнении присутствует общий знаменатель ( x + 2 ), мы можем умножить обе стороны на этот знаменатель, при условии, что ( x \neq -2 ):
[
x^2 - 10 = 3x
]
Теперь, перенесем все члены уравнения в одну сторону:
[
x^2 - 3x - 10 = 0
]
Теперь мы можем использовать дискриминант для нахождения корней этого квадратного уравнения. Дискриминант (( D )) рассчитывается по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = -3 ) и ( c = -10 ). Подставим значения:
[
D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49
]
Теперь, когда мы знаем дискриминант, можем найти корни уравнения с помощью формулы:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим значения:
[
x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 7}{2}
]
Теперь вычислим два значения:
- ( x_1 = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 )
- ( x_2 = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 )
Следовательно, корни уравнения:
[
x_1 = 5, \quad x_2 = -2
]
Однако, так как мы умножали на (x + 2), необходимо проверить, не является ли полученный корень ( x = -2 ) недопустимым (так как он обнуляет знаменатель). Этот корень недопустим. Таким образом, единственным корнем уравнения является:
[
x = 5
]
Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
