ОГЭ <<Арифметическая прогрессия» ФИПИ 2015 Дана арифметическая прогрессия (а,), разность которой равна 2,5, а1=- 9,1. Найдите сумму первых 15 её членов. Дана арифметическая…

Давайте рассмотрим, как находить сумму членов арифметической прогрессии. Сумма первых \( n \) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

где:

• \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов,
• \( a_1 \) — первый член прогрессии,
• \( a_n \) — \( n \)-й член прогрессии.

\( n \)-й член \( a_n \) можно найти по формуле:

\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]

где \( d \) — разность прогрессии.

Теперь давайте решим ваши задачи по порядку.

1. Арифметическая прогрессия: \( a_1 = -9,1 \), \( d = 2,5 \), \( n = 15 \)

Сначала найдём \( a_n \):

\[ a_{15} = -9,1 + (15-1) \cdot 2,5 = -9,1 + 14 \cdot 2,5 = -9,1 + 35 = 25,9 \]

Теперь находим сумму:

\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (-9,1 + 25,9) = \frac{15}{2} \cdot 16,8 = 15 \cdot 8,4 = 126 \]

2. Арифметическая прогрессия: \( a_1 = 6,2 \), \( d = 0,6 \), \( n = 13 \)

Находим \( a_{13} \):

\[ a_{13} = 6,2 + (13-1) \cdot 0,6 = 6,2 + 12 \cdot 0,6 = 6,2 + 7,2 = 13,4 \]

Сумма:

\[ S_{13} = \frac{13}{2} \cdot (6,2 + 13,4) = \frac{13}{2} \cdot 19,6 = 13 \cdot 9,8 = 127,4 \]

3. Арифметическая прогрессия: \( a_1 = 1,8 \), \( d = 5,8 \), \( n = 8 \)

Находим \( a_{8} \):

\[ a_{8} = 1,8 + (8-1) \cdot 5,8 = 1,8 + 7 \cdot 5,8 = 1,8 + 40,6 = 42,4 \]

Сумма:

\[ S_{8} = \frac{8}{2} \cdot (1,8 + 42,4) = 4 \cdot 44,2 = 176,8 \]

4. Арифметическая прогрессия: \( a_1 = -4,9 \), \( d = 2,2 \), \( n = 8 \)

Находится \( a_{8} \):

\[ a_{8} = -4,9 + (8-1) \cdot 2,2 = -4,9 + 7 \cdot 2,2 = -4,9 + 15,4 = 10,5 \]

Сумма:

\[ S_{8} = \frac{8}{2} \cdot (-4,9 + 10,5) = 4 \cdot 5,6 = 22,4 \]

5. Арифметическая прогрессия: \( a_1 = -8,1 \), \( d = 9,1 \), \( n = 8 \)

Находим \( a_{8} \):

\[ a_{8} = -8,1 + (8-1) \cdot 9,1 = -8,1 + 7 \cdot 9,1 = -8,1 + 63,7 = 55,6 \]

Сумма:

\[ S_{8} = \frac{8}{2} \cdot (-8,1 + 55,6) = 4 \cdot 47,5 = 190 \]

6. Арифметическая прогрессия: \( a_1 = 2,1 \), \( d = 4,7 \), \( n = 14 \)

Находим \( a_{14} \):

\[ a_{14} = 2,1 + (14-1) \cdot 4,7 = 2,1 + 13 \cdot 4,7 = 2,1 + 61,1 = 63,2 \]

Сумма:

\[ S_{14} = \frac{14}{2} \cdot (2,1 + 63,2) = 7 \cdot 65,3 = 457,1 \]

7. Арифметическая прогрессия: \( a_1 = -7 \), \( d = 1,1 \), \( n = 14 \)

Находим \( a_{14} \):

\[ a_{14} = -7 + (14-1) \cdot 1,1 = -7 + 13 \cdot 1,1 = -7 + 14,3 = 7,3 \]

Сумма:

\[ S_{14} = \frac{14}{2} \cdot (-7 + 7,3) = 7 \cdot 0,3 = 2,1 \]

8. Арифметическая прогрессия: \( a_1 = -9,4 \), \( d = 9,4 \), \( n = 12 \)

Находим \( a_{12} \):

\[ a_{12} = -9,4 + (12-1) \cdot 9,4 = -9,4 + 11 \cdot 9,4 = -9,4 + 103,4 = 94 \]

Сумма:

\[ S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (-9,4 + 94) = 6 \cdot 84,6 = 507,6 \]

9. Арифметическая прогрессия: \( a_1 = 9,1 \), \( d = 0,1 \), \( n = 10 \)

Находим \( a_{10} \):

\[ a_{10} = 9,1 + (10-1) \cdot 0,1 = 9,1 + 9 \cdot 0,1 = 9,1 + 0,9 = 10 \]

Сумма:

\[ S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (9,1 + 10) = 5 \cdot 19,1 = 95,5 \]

10. Арифметическая прогрессия: \( a_1 = -2 \), \( d = 5,3 \), \( n = 9 \)

Находим \( a_{9} \):

\[ a_{9} = -2 + (9-1) \cdot 5,3 = -2 + 8 \cdot 5,3 = -2 + 42,4 = 40,4 \]

Сумма:

\[ S_{9} = \frac{9}{2} \cdot (-2 + 40,4) = \frac{9}{2} \cdot 38,4 = 9 \cdot 19,2 = 172,8 \]

11. Арифметическая прогрессия: \( a_1 = -8,3 \), \( d = 8,5 \), \( n = 7 \)

Находим \( a_{7} \):

\[ a_{7} = -8,3 + (7-1) \cdot 8,5 = -8,3 + 6 \cdot 8,5 = -8,3 + 51 = 42,7 \]

Сумма:

\[ S_{7} = \frac{7}{2} \cdot (-8,3 + 42,7) = \frac{7}{2} \cdot 34,4 = 7 \cdot 17,2 = 120,4 \]

12. Арифметическая прогрессия: \( a_1 = -9,5 \), \( d = 9,1 \), \( n = 12 \)

Находим \( a_{12} \):

\[ a_{12} = -9,5 + (12-1) \cdot 9,1 = -9,5 + 11 \cdot 9,1 = -9,5 + 100,1 = 90,6 \]

Сумма:

\[ S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (-9,5 + 90,6) = 6 \cdot 81,1 = 486,6 \]

Теперь перейдем к прогрессиям, заданным формулами:

1. \( a_n = -0,6 + 8,6n \), \( n = 10 \)

Находим \( S_{10} \):

\[ S_{10} = \frac{10}{2} \cdot [(-0,6 + 8,6 \cdot 1) + (-0,6 + 8,6 \cdot 10)] = 5 \cdot [8,0 + 85,4] = 5 \cdot 93,4 = 467 \]

2. \( a_n = 1,9 - 0,3n \), \( n = 15 \)

Находим \( S_{15} \):

\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot [(1,9 - 0,3 \cdot 1) + (1,9 - 0,3 \cdot 15)] = \frac{15}{2} \cdot [1,6 + (-3,6)] = \frac{15}{2} \cdot (-2) = -15 \]

3. \( a_n = -5,3 - 4,5n \), \( n = 12 \)

Находим \( S_{12} \):

\[ S_{12} = \frac{12}{2} \cdot [(-5,3 - 4,5 \cdot 1) + (-5,3 - 4,5 \cdot 12)] = 6 \cdot [-9,8 + (-55,3)] = 6 \cdot (-65,1) = -390,6 \]

4. \( a_n = -5,1 - 4,3n \), \( n = 15 \)

Находим \( S_{15} \):

\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot [(-5,1 - 4,3 \cdot 1) + (-5,1 - 4,3 \cdot 15)] = \frac{15}{2} \cdot [-9,4 + (-64,6)] = \frac{15}{2} \cdot (-74) = -555 \]

5. \( a_n = 9,3 - 5,1n \), \( n = 12 \)

Находим \( S_{12} \):

\[ S_{12} = \frac{12}{2} \cdot [(9,3 - 5,1 \cdot 1) + (9,3 - 5,1 \cdot 12)] = 6 \cdot [4,2 + (-55,7)] = 6 \cdot (-51,5) = -309 \]

6. \( a_n = -12,6 + 7,9n \), \( n = 14 \)

Находим \( S_{14} \):

\[ S_{14} = \frac{14}{2} \cdot [(-12,6 + 7,9 \cdot 1) + (-12,6 + 7,9 \cdot 14)] = 7 \cdot [-4,7 + 82,2] = 7 \cdot 77,5 = 542,5 \]

7. \( a_n = -0,2 - 2,7n \), \( n = 11 \)

Находим \( S_{11} \):

\[ S_{11} = \frac{11}{2} \cdot [(-0,2 - 2,7 \cdot 1) + (-0,2 - 2,7 \cdot 11)] = \frac{11}{2} \cdot [-2,9 + (-30,0)] = \frac{11}{2} \cdot (-32,9) = -176,45 \]

8. \( a_n = -14,5 + 8n \), \( n = 12 \)

Находим \( S_{12} \):

\[ S_{12} = \frac{12}{2} \cdot [(-14,5 + 8 \cdot 1) + (-14,5 + 8 \cdot 12)] = 6 \cdot [-6,5 + 49,5] = 6 \cdot 43 = 258 \]

9. \( a_n = 1,4 + 4,9n \), \( n = 13 \)

Находим \( S_{13} \):

\[ S_{13} = \frac{13}{2} \cdot [(1,4 + 4,9 \cdot 1) + (1,4 + 4,9 \cdot 13)] = \frac{13}{2} \cdot [6,3 + 64,7] = \frac{13}{2} \cdot 71 = 462,5 \]

10. \( a_n = -13,2 + 5,2n \), \( n = 6 \)

Находим \( S_{6} \):

\[ S_{6} = \frac{6}{2} \cdot [(-13,2 + 5,2 \cdot 1) + (-13,2 + 5,2 \cdot 6)] = 3 \cdot [-8 + 5,8] = 3 \cdot (-2,2) = -6,6 \]

11. \( a_n = 1,3 - 5,7n \), \( n = 15 \)

Находим \( S_{15} \):

\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot [(1,3 - 5,7 \cdot 1) + (1,3 - 5,7 \cdot 15)] = \frac{15}{2} \cdot [-4,4 + (-85,2)] = \frac{15}{2} \cdot (-89,6) = -672 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь, не стесняйтесь задавать. Удачи в учёбе!