найдите координаты центра и радиуса окружности, заданной уравнением x2−8x+y2+2y+16=0
Для того чтобы найти координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением \( x^2 - 8x + y^2 + 2y + 16 = 0 \), давайте сначала преобразуем это уравнение в стандартную форму окружности.
Соберем все выражения с переменными и константы отдельно: \[ x^2 - 8x + y^2 + 2y = -16 \]
Приведем к квадратам с помощью выделения полного квадрата:
- Для \( x^2 - 8x \): \[ x^2 - 8x = (x-4)^2 - 16 \]
- Для \( y^2 + 2y \): \[ y^2 + 2y = (y+1)^2 - 1 \]
Подставим эти выражения обратно в уравнение: \[ (x-4)^2 - 16 + (y+1)^2 - 1 = -16 \]
Упростим уравнение: \[ (x-4)^2 + (y+1)^2 - 17 = -16 \] \[ (x-4)^2 + (y+1)^2 = 1 \]
Теперь мы имеем уравнение в стандартной форме окружности: \[ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \] где \((h, k)\) — центр окружности, а \(r\) — радиус.
Из нашего уравнения видно, что:
- Центр окружности: \((h, k) = (4, -1)\)
- Радиус: \(r = \sqrt{1} = 1\)
Таким образом, координаты центра окружности \((4, -1)\), а радиус равен \(1\).
