Найдите координаты центра и радиуса окружности, заданной уравнением x2−8x+y2+2y+16=0

Для того чтобы найти координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением \( x^2 - 8x + y^2 + 2y + 16 = 0 \), давайте сначала преобразуем это уравнение в стандартную форму окружности. 1. **Соберем все выражения с переменными и константы отдельно:** \[ x^2 - 8x + y^2 + 2y = -16 \] 2. **Приведем к квадратам с помощью выделения полного квадрата:** - Для \( x^2 - 8x \): \[ x^2 - 8x = (x-4)^2 - 16 \] - Для \( y^2 + 2y \): \[ y^2 + 2y = (y+1)^2 - 1 \] 3. **Подставим эти выражения обратно в уравнение:** \[ (x-4)^2 - 16 + (y+1)^2 - 1 = -16 \] 4. **Упростим уравнение:** \[ (x-4)^2 + (y+1)^2 - 17 = -16 \] \[ (x-4)^2 + (y+1)^2 = 1 \] Теперь мы имеем уравнение в стандартной форме окружности: \[ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 \] где \((h, k)\) — центр окружности, а \(r\) — радиус. Из нашего уравнения видно, что: - Центр окружности: \((h, k) = (4, -1)\) - Радиус: \(r = \sqrt{1} = 1\) Таким образом, координаты центра окружности \((4, -1)\), а радиус равен \(1\).