Чтобы найти каноническое и параметрическое уравнения прямой, проходящей через точки A(2; 1; 1) и B(3; 1; -2), начнем с нахождения направления прямой. Для этого вычислим вектор AB.
Найдем координаты вектора AB:
[ \vec{AB} = B - A = (3 - 2; 1 - 1; -2 - 1) = (1; 0; -3) ]
Теперь мы имеем направление прямой в виде вектора ((1; 0; -3)).
Каноническое уравнение
Каноническое уравнение прямой в пространстве можно записать следующим образом:
[
\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}
]
где ( (x_0, y_0, z_0) ) - координаты точки на прямой, а ( (a, b, c) ) - координаты направляющего вектора. В нашем случае:
- Точка A: ( (x_0, y_0, z_0) = (2, 1, 1) )
- Вектор направления: ( (a, b, c) = (1, 0, -3) )
Записываем каноническое уравнение:
[
\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z - 1}{-3}
]
Упрощая, получаем:
[
x - 2 = 0 \quad (y - 1 \text{ не определено}) \quad z - 1 = -3
]
Таким образом, каноническое уравнение можно представить в виде:
[
x = 2, \quad y = 1, \quad z = 1 - 3t \quad (t \in \mathbb{R})
]
Параметрическое уравнение
Параметрическое уравнение прямой можно записать в следующем виде:
[
\begin{cases}
x = 2 + t \
y = 1 + 0t \
z = 1 - 3t
\end{cases}
]
где ( t ) – параметр.
Таким образом, мы получили как каноническое, так и параметрическое уравнения прямой, проходящей через заданные точки. Если возникнут дополнительные вопросы или потребуется разъяснение, всегда рад помочь!
