Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 8 и не превосходящих 140.

Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, кратных 8 и не превосходящих 140, сначала определим все такие числа.

Числа, кратные 8, начинаются с 8 и продолжают в виде: 8, 16, 24, ..., и так далее. Последнее число, кратное 8, которое не превосходит 140, можно найти, разделив 140 на 8 и округлив вниз до ближайшего целого числа, а затем умножив на 8:

\[ \frac{140}{8} = 17.5 \]

Округляем вниз до 17, и затем:

\[ 17 \times 8 = 136 \]

Итак, числа, кратные 8 и не превосходящие 140: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120, 128, 136.

Теперь нам нужно найти сумму этих чисел. Мы можем заметить, что это арифметическая прогрессия (АП) с первым членом \( a = 8 \) и последним членом \( l = 136 \), и количество членов можно найти как:

\[ n = \frac{l - a}{d} + 1 \]

где \( d \) — это разность (в данном случае 8).

Подставляем значения:

\[ n = \frac{136 - 8}{8} + 1 = \frac{128}{8} + 1 = 16 + 1 = 17 \]

Количество членов равно 17. Сумму \( S \) арифметической прогрессии можно найти по формуле:

\[ S = \frac{n}{2} \times (a + l) \]

Подставляем значения:

\[ S = \frac{17}{2} \times (8 + 136) = \frac{17}{2} \times 144 = 17 \times 72 = 1224 \]

Таким образом, сумма всех натуральных чисел, кратных 8 и не превосходящих 140, равна \( 1224 \).