решите неравенство х²-25/х²-8х+7<0
Давайте решим неравенство \( \frac{x^2 - 25}{x^2 - 8x + 7} < 0 \).
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель: \( x^2 - 25 = 0 \) \[ x^2 = 25 \implies x = 5 \quad \text{или} \quad x = -5. \]
Знаменатель: \( x^2 - 8x + 7 = 0 \) Для решения этого уравнения воспользуемся формулой дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36. \] Теперь находим корни: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{8 \pm 6}{2}. \] Это дает: \[ x_1 = \frac{14}{2} = 7 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1. \]
Определим нули функции и важные точки: У нас есть нули числителя: \( x = 5, -5 \) и нули знаменателя: \( x = 1, 7 \). Таким образом, ключевые точки для анализа — это \( -5, 1, 5, 7 \).
Построим числовую линию и протестируем интервалы: Разделим числовую линию на интервалы:
- \( (-\infty, -5) \)
- \( (-5, 1) \)
- \( (1, 5) \)
- \( (5, 7) \)
- \( (7, +\infty) \)
Теперь протестируем каждый интервал, подставляя тестовые значения в неравенство:
Интервал \( (-\infty, -5) \): Подставим \( x = -6 \): \[ \frac{(-6)^2 - 25}{(-6)^2 - 8(-6) + 7} = \frac{36 - 25}{36 + 48 + 7} = \frac{11}{91} > 0. \]
Интервал \( (-5, 1) \): Подставим \( x = 0 \): \[ \frac{0^2 - 25}{0^2 - 8 \cdot 0 + 7} = \frac{-25}{7} < 0. \]
Интервал \( (1, 5) \): Подставим \( x = 3 \): \[ \frac{3^2 - 25}{3^2 - 8 \cdot 3 + 7} = \frac{9 - 25}{9 - 24 + 7} = \frac{-16}{-8} = 2 > 0. \]
Интервал \( (5, 7) \): Подставим \( x = 6 \): \[ \frac{6^2 - 25}{6^2 - 8 \cdot 6 + 7} = \frac{36 - 25}{36 - 48 + 7} = \frac{11}{-5} < 0. \]
Интервал \( (7, +\infty) \): Подставим \( x = 8 \): \[ \frac{8^2 - 25}{8^2 - 8 \cdot 8 + 7} = \frac{64 - 25}{64 - 64 + 7} = \frac{39}{7} > 0. \]
Итак, неравенство \( \frac{x^2 - 25}{x^2 - 8x + 7} < 0 \) выполняется на интервалах:
- \( (-5, 1) \)
- \( (5, 7) \)
Ответ: Объединяя интервалы, получаем: \[ (-5, 1) \cup (5, 7). \] Это и будет решением неравенства.
