решите систему управлений {x²+6xy+9y²=4 {x²-xy-4y²=-2

Чтобы решить систему уравнений:

1. \(x^2 + 6xy + 9y^2 = 4\)

2. \(x^2 - xy - 4y^2 = -2\)

Сначала упростим оба уравнения.

Уравнение 1:

Запишем первое уравнение в стандартном виде: \[ x^2 + 6xy + 9y^2 - 4 = 0 \] Это уравнение можно рассматривать как (x + 3y)² = 4. То есть, извлекая квадратный корень, мы получаем: \[ x + 3y = 2 \quad \text{или} \quad x + 3y = -2 \]

Случай 1: \(x + 3y = 2\)

Выразим \(x\): \[ x = 2 - 3y \]

Теперь подставим это значение \(x\) во второе уравнение: \[ (2 - 3y)^2 - (2 - 3y)y - 4y^2 = -2 \]

Раскроем скобки: \[ (4 - 12y + 9y^2) - (2y - 3y^2) - 4y^2 = -2 \] Это упрощается до: \[ 4 - 12y + 9y^2 - 2y + 3y^2 - 4y^2 = -2 \] Соберем все члены: \[ (9y^2 + 3y^2 - 4y^2) - 14y + 4 + 2 = 0 \] \[ 8y^2 - 14y + 6 = 0 \] Теперь можно решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 6 = 196 - 192 = 4 \] Так как \(D > 0\), у нас два различных корня: \[ y_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{14 \pm 2}{16} \] Таким образом, получаем: \[ y_1 = \frac{16}{16} = 1, \quad y_2 = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \]

Теперь найдем соответствующие значения \(x\):

• Для \(y = 1\): \[ x = 2 - 3 \cdot 1 = -1 \]

• Для \(y = \frac{3}{4}\): \[ x = 2 - 3 \cdot \frac{3}{4} = 2 - \frac{9}{4} = \frac{8}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{1}{4} \]

Таким образом, первые два решения системы:

1. \((-1, 1)\)
2. \((-0.25, 0.75)\)

Случай 2: \(x + 3y = -2\)

Выразим \(x\): \[ x = -2 - 3y \]

Подставим во второе уравнение: \[ (-2 - 3y)^2 - (-2 - 3y)y - 4y^2 = -2 \] Раскроем скобки: \[ (4 + 12y + 9y^2) + 2y + 3y^2 - 4y^2 = -2 \] Соберем все члены: \[ (9y^2 + 3y^2 - 4y^2) + 14y + 4 + 2 = 0 \] \[ 8y^2 + 14y + 6 = 0 \] Теперь также решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = 14^2 - 4 \cdot 8 \cdot 6 = 196 - 192 = 4 \] Так как \(D > 0\), у нас два различных корня: \[ y_{1,2} = \frac{-14 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 8} = \frac{-14 \pm 2}{16} \] Таким образом, получаем: \[ y_1 = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}, \quad y_2 = \frac{-16}{16} = -1 \]

Теперь найдем соответствующие значения \(x\):

• Для \(y = -\frac{3}{4}\): \[ x = -2 - 3 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -2 + \frac{9}{4} = -\frac{8}{4} + \frac{9}{4} = \frac{1}{4} \]

• Для \(y = -1\): \[ x = -2 - 3 \cdot (-1) = -2 + 3 = 1 \]

Таким образом, следующие два решения системы: 3) \((0.25, -0.75)\) 4) \((1, -1)\)

Итог:

Решения системы уравнений:

1. \((-1, 1)\)
2. \((-0.25, 0.75)\)
3. \((0.25, -0.75)\)
4. \((1, -1)\)