Чтобы найти координаты и длину вектора ( \mathbf{a} ), используя данное выражение ( \mathbf{a} = -\mathbf{b} + \frac{1}{2} \mathbf{c} ), нам сначала нужно подставить значения векторов ( \mathbf{b} ) и ( \mathbf{c} ).
У нас есть:
[
\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \ -2 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{c} = \begin{pmatrix} -6 \ 2 \end{pmatrix}
]
Теперь найдем ( -\mathbf{b} ):
[
-\mathbf{b} = -\begin{pmatrix} 3 \ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \ 2 \end{pmatrix}
]
Теперь посчитаем ( \frac{1}{2} \mathbf{c} ):
[
\frac{1}{2} \mathbf{c} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -6 \ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \ 1 \end{pmatrix}
]
Теперь подставим эти значения в выражение для вектора ( \mathbf{a} ):
[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} -3 \ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 - 3 \ 2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \ 3 \end{pmatrix}
]
Итак, координаты вектора ( \mathbf{a} ) равны ( (-6, 3) ).
Теперь найдем длину вектора ( \mathbf{a} ). Длина вектора ( \mathbf{a} ) рассчитывается по формуле:
[
|\mathbf{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}
]
где ( x ) и ( y ) - координаты вектора.
Подставим координаты:
[
|\mathbf{a}| = \sqrt{(-6)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}
]
Таким образом, мы нашли, что координаты вектора ( \mathbf{a} ) равны ( (-6, 3) ), а его длина составляет ( 3\sqrt{5} ).
