Проведено выборочное обследование участников олимпиады Баллы 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 15 13-15 5 Число участников 10 35 43 22 Найти средний балл участников, несмещенную оценку генеральной дисперсии, моду и медиану

Для нахождения среднего балла, несмещенной оценки генеральной дисперсии, моды и медианы мы воспользуемся следующими методами. ### Данные Сначала рассмотрим данные: - Баллы: 3-5, 5-7, 7-9, 9-11, 11-13, 13-15 - Число участников: - 3-5: 10 - 5-7: 35 - 7-9: 43 - 9-11: 22 - 11-13: 15 ### 1. Средний балл Для нахождения среднего балла (ожидаемое значение) мы используем формулу: \[ \bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{\sum n_i} \] где \(x_i\) - среднее значение интервала баллов, а \(n_i\) - количество участников. Сначала найдем средние значения для каждого интервала: - Для интервала 3-5: \( \frac{3 + 5}{2} = 4 \) - Для интервала 5-7: \( \frac{5 + 7}{2} = 6 \) - Для интервала 7-9: \( \frac{7 + 9}{2} = 8 \) - Для интервала 9-11: \( \frac{9 + 11}{2} = 10 \) - Для интервала 11-13: \( \frac{11 + 13}{2} = 12 \) - Для интервала 13-15: \( \frac{13 + 15}{2} = 14 \) Теперь подставим данные в формулу: \[ \sum (x_i \cdot n_i) = (4 \cdot 10) + (6 \cdot 35) + (8 \cdot 43) + (10 \cdot 22) + (12 \cdot 15) \] \[ \sum (x_i \cdot n_i) = 40 + 210 + 344 + 220 + 180 = 994 \] \[ \sum n_i = 10 + 35 + 43 + 22 + 15 = 125 \] Теперь находим средний балл: \[ \bar{x} = \frac{994}{125} \approx 7.952 \] ### 2. Несмещенная оценка генеральной дисперсии Для несмещенной оценки дисперсии используем формулу: \[ S^2 = \frac{\sum (n_i \cdot (x_i - \bar{x})^2)}{N - 1} \] где \(N\) - общее количество участников. Теперь найдем \( (x_i - \bar{x})^2 \): 1. \( (4 - 7.952)^2 \approx 15.529 \) 2. \( (6 - 7.952)^2 \approx 3.817 \) 3. \( (8 - 7.952)^2 \approx 0.0023 \) 4. \( (10 - 7.952)^2 \approx 4.228 \) 5. \( (12 - 7.952)^2 \approx 16.671 \) 6. \( (14 - 7.952)^2 \approx 36.651 \) Теперь находим сумму: \[ \sum (n_i \cdot (x_i - \bar{x})^2) = (10 \cdot 15.529) + (35 \cdot 3.817) + (43 \cdot 0.0023) + (22 \cdot 4.228) + (15 \cdot 16.671) \] Это равно: \[ 155.29 + 133.1 + 0.1 + 93.016 + 250.065 = 631.571 \] Теперь подставим в формулу для \(S^2\): \[ S^2 = \frac{631.571}{124} \approx 5.09 \] ### 3. Мода и медиана **Мода** — это значение, которое появляется чаще всего. В нашем случае это интервал с наибольшим количеством участников: - Интервал 5-7: 35 (наибольшее количество) Таким образом, мода — 5-7. **Медиана** — это значение, которое делит распределение на две равные части. Для нахождения медианы найдем кумулятивные частоты и определим, где находится 63-й участник (половина от 125): - 10 (3-5) - 45 (5-7) - 88 (7-9) - 110 (9-11) - 125 (11-13) Находим, что медиана попадает в интервал 7-9 (так как 63 меньше 88, но больше 45). ### Итог: - Средний балл: приблизительно **7.95** - Несмещенная оценка дисперсии: приблизительно **5.09** - Мода: интервал **5-7** - Медиана: интервал **7-9** Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь обращаться!