Проведено выборочное обследование участников олимпиады Баллы 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 15 13-15 5 Число участников 10 35 43 22 Найти средний балл участников, несмещенную оценку…

Для нахождения среднего балла, несмещенной оценки генеральной дисперсии, моды и медианы мы воспользуемся следующими методами.

Данные

Сначала рассмотрим данные:

• Баллы: 3-5, 5-7, 7-9, 9-11, 11-13, 13-15
• Число участников:
  • 3-5: 10
  • 5-7: 35
  • 7-9: 43
  • 9-11: 22
  • 11-13: 15

1. Средний балл

Для нахождения среднего балла (ожидаемое значение) мы используем формулу:

\[ \bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{\sum n_i} \]

где \(x_i\) - среднее значение интервала баллов, а \(n_i\) - количество участников.

Сначала найдем средние значения для каждого интервала:

• Для интервала 3-5: \( \frac{3 + 5}{2} = 4 \)
• Для интервала 5-7: \( \frac{5 + 7}{2} = 6 \)
• Для интервала 7-9: \( \frac{7 + 9}{2} = 8 \)
• Для интервала 9-11: \( \frac{9 + 11}{2} = 10 \)
• Для интервала 11-13: \( \frac{11 + 13}{2} = 12 \)
• Для интервала 13-15: \( \frac{13 + 15}{2} = 14 \)

Теперь подставим данные в формулу:

\[ \sum (x_i \cdot n_i) = (4 \cdot 10) + (6 \cdot 35) + (8 \cdot 43) + (10 \cdot 22) + (12 \cdot 15) \]

\[ \sum (x_i \cdot n_i) = 40 + 210 + 344 + 220 + 180 = 994 \]

\[ \sum n_i = 10 + 35 + 43 + 22 + 15 = 125 \]

Теперь находим средний балл:

\[ \bar{x} = \frac{994}{125} \approx 7.952 \]

2. Несмещенная оценка генеральной дисперсии

Для несмещенной оценки дисперсии используем формулу:

\[ S^2 = \frac{\sum (n_i \cdot (x_i - \bar{x})^2)}{N - 1} \]

где \(N\) - общее количество участников.

Теперь найдем \( (x_i - \bar{x})^2 \):

1. \( (4 - 7.952)^2 \approx 15.529 \)
2. \( (6 - 7.952)^2 \approx 3.817 \)
3. \( (8 - 7.952)^2 \approx 0.0023 \)
4. \( (10 - 7.952)^2 \approx 4.228 \)
5. \( (12 - 7.952)^2 \approx 16.671 \)
6. \( (14 - 7.952)^2 \approx 36.651 \)

Теперь находим сумму:

\[ \sum (n_i \cdot (x_i - \bar{x})^2) = (10 \cdot 15.529) + (35 \cdot 3.817) + (43 \cdot 0.0023) + (22 \cdot 4.228) + (15 \cdot 16.671) \]

Это равно:

\[ 155.29 + 133.1 + 0.1 + 93.016 + 250.065 = 631.571 \]

Теперь подставим в формулу для \(S^2\):

\[ S^2 = \frac{631.571}{124} \approx 5.09 \]

3. Мода и медиана

Мода — это значение, которое появляется чаще всего. В нашем случае это интервал с наибольшим количеством участников:

• Интервал 5-7: 35 (наибольшее количество)
  Таким образом, мода — 5-7.

Медиана — это значение, которое делит распределение на две равные части. Для нахождения медианы найдем кумулятивные частоты и определим, где находится 63-й участник (половина от 125):

• 10 (3-5)
• 45 (5-7)
• 88 (7-9)
• 110 (9-11)
• 125 (11-13)

Находим, что медиана попадает в интервал 7-9 (так как 63 меньше 88, но больше 45).

Итог:

• Средний балл: приблизительно 7.95
• Несмещенная оценка дисперсии: приблизительно 5.09
• Мода: интервал 5-7
• Медиана: интервал 7-9

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь обращаться!