Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и немецким одновременно владеют 8…
Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?
Для решения задачи воспользуемся принципом включения-исключения. Обозначим:
- \( N \) — общее количество туристов, \( N = 100 \).
- \( A \) — количество туристов, владеющих немецким языком, \( |A| = 30 \).
- \( B \) — количество туристов, владеющих английским языком, \( |B| = 28 \).
- \( C \) — количество туристов, владеющих французским языком, \( |C| = 42 \).
- \( |A \cap B| \) — количество туристов, владеющих английским и немецким, \( |A \cap B| = 8 \).
- \( |A \cap C| \) — количество туристов, владеющих немецким и французским, \( |A \cap C| = 5 \).
- \( |B \cap C| \) — количество туристов, владеющих английским и французским, \( |B \cap C| = 10 \).
- \( |A \cap B \cap C| \) — количество туристов, владеющих всеми тремя языками, \( |A \cap B \cap C| = 3 \).
Теперь воспользуемся формулой включения-исключения для нахождения количества туристов, владеющих хотя бы одним языком:
\[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C| \]
Подставим известные значения:
\[ |A \cup B \cup C| = 30 + 28 + 42 - 8 - 10 - 5 + 3 \]
Теперь выполняем арифметические действия:
\[ |A \cup B \cup C| = 30 + 28 + 42 - 8 - 10 - 5 + 3 = 30 + 28 + 42 - 23 = 80 \]
Теперь найдём количество туристов, не владеющих ни одним языком:
\[ N - |A \cup B \cup C| = 100 - 80 = 20 \]
Таким образом, количество туристов, не владеющих ни одним языком, равно 20.
