Для решения задачи начнем с определения последовательных чисел, которые Василий сложил. Пусть первые 13 последовательных чисел начинаются с числа (n). Тогда эти числа будут: (n, n+1, n+2, \ldots, n+12).
Сумма этих 13 чисел может быть найдена с использованием формулы:
[
S = n + (n+1) + (n+2) + \ldots + (n+12) = 13n + (0 + 1 + 2 + \ldots + 12)
]
Сумма первых 12 натуральных чисел (от 0 до 12) равна:
[
0 + 1 + 2 + \ldots + 12 = \frac{12 \times 13}{2} = 78
]
Таким образом, сумма 13 последовательных чисел:
[
S = 13n + 78
]
В условии говорится, что сумма состоит из четырех цифр, и первые три из них равны 100. Это значит, что сумма (S) принимает вид 100X, где X - это искомая цифра.
Рассмотрим, что 1000 ≤ (S) < 10000. Подставим выражение для (S):
[
1000 \leq 13n + 78 < 10000
]
- Решим первое неравенство:
[
13n + 78 \geq 1000 \implies 13n \geq 1000 - 78 = 922 \implies n \geq \frac{922}{13} \approx 70.15
]
Таким образом, (n) должен быть не меньше 71.
- Теперь решим второе неравенство:
[
13n + 78 < 10000 \implies 13n < 10000 - 78 = 9922 \implies n < \frac{9922}{13} \approx 764.77
]
Следовательно, (n) должно быть меньше 765.
Теперь мы знаем, что (71 \leq n < 765).
Чтобы найти значение X, подставим различные целые значения (n) в сумму:
[
S = 13n + 78
]
Поскольку (S) должно принимать вид 100X, проверим несколько значений:
Для (n = 71):
[
S = 13 \times 71 + 78 = 923 \quad \text{(не подходит)}
]
Для (n = 72):
[
S = 13 \times 72 + 78 = 936 \quad \text{(не подходит)}
]
...
Продолжаем подставлять значения.
Для (n = 82):
[
S = 13 \times 82 + 78 = 1054 \quad \text{(подходит, X = 4)}
]
Таким образом, проверяем, что решая данную задачу:
[
X = 4
]
Итак, четвертая цифра в сумме — это 4!
