В лицей набирают 210 учащихся. После экзаменов зачислили 40 % поступавших юношей и 75 % поступавших девушек. Среди незачисленных юношей оказалось в 6 раз больше, чем девушек.…

Давайте начнем с обозначения переменных. Обозначим количество поступивших юношей как \( x \), а количество поступивших девушек как \( y \).

По условию задачи у нас есть следующая информация:

1. В лицей зачислили 40% юношей, то есть \( 0.4x \).
2. В лицей зачислили 75% девушек, то есть \( 0.75y \).
3. Всего зачислено 210 учащихся, значит: \[ 0.4x + 0.75y = 210 \]

Также по условию, среди незачисленных юношей оказалось в 6 раз больше, чем девушек. Обозначим количество незачисленных юношей как \( x - 0.4x = 0.6x \) и количество незачисленных девушек как \( y - 0.75y = 0.25y \). По условию задачи у нас есть: \[ 0.6x = 6(0.25y) \]

Это упростится до: \[ 0.6x = 1.5y \] или \[ x = \frac{1.5y}{0.6} = 2.5y \]

Теперь подставим \( x \) в первое уравнение: \[ 0.4(2.5y) + 0.75y = 210 \] Упрощаем это уравнение: \[ 1y + 0.75y = 210 \] \[ 1.75y = 210 \] Теперь решим для \( y \): \[ y = \frac{210}{1.75} = 120 \]

Теперь подставим найденное значение \( y \) обратно, чтобы найти \( x \): \[ x = 2.5y = 2.5 \times 120 = 300 \]

Теперь мы можем найти общее количество поступивших: \[ x + y = 300 + 120 = 420 \]

Таким образом, количество поступивших в лицей составляет 420 человек.