5x²+78x-32>0
Решим неравенство \(5x^2 + 78x - 32 > 0\) шаг за шагом.
Найдем корни квадратного уравнения. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] Здесь \(a = 5\), \(b = 78\), \(c = -32\): \[ D = 78^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-32) = 6084 + 640 = 6724 \]
Находим корни уравнения \(5x^2 + 78x - 32 = 0\): \[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-78 \pm \sqrt{6724}}{10} \]
Поскольку \( \sqrt{6724} = 82 \): \[ x_1 = \frac{-78 + 82}{10} = \frac{4}{10} = 0.4 \] \[ x_2 = \frac{-78 - 82}{10} = \frac{-160}{10} = -16 \]
Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = 0.4\) и \(x_2 = -16\).
Теперь будем исследовать знак неравенства. Парабола, заданная квадратным уравнением, открыта вверх (поскольку коэффициент \(a = 5 > 0\)). Это значит, что она будет положительной вне интервала, заданного корнями, и отрицательной внутри.
Сформируем интервалы для анализа:
- \( (-\infty, -16) \)
- \( (-16, 0.4) \)
- \( (0.4, +\infty) \)
Выберем произвольные точки из каждого интервала и подставим их в неравенство:
- Для интервала \((- \infty, -16)\): возьмем \(x = -17\): \[ 5(-17)^2 + 78(-17) - 32 = 5 \cdot 289 - 1326 - 32 = 1445 - 1326 - 32 > 0 \]
- Для интервала \((-16, 0.4)\): возьмем \(x = 0\): \[ 5(0)^2 + 78(0) - 32 = -32 < 0 \]
- Для интервала \((0.4, +\infty)\): возьмем \(x = 1\): \[ 5(1)^2 + 78(1) - 32 = 5 + 78 - 32 = 51 > 0 \]
Заключение. Находим, что неравенство \(5x^2 + 78x - 32 > 0\ выполняется для интервалов: \[ x \in (-\infty, -16) \cup (0.4, +\infty) \] Таким образом, решение неравенства: \( (-\infty, -16) \) и \( (0.4, +\infty) \).
