Для решения задачи давайте начнем с имеющихся данных. У нас есть:
[
\cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}
]
Так как (\alpha) находится в промежутке (0 < \alpha < 90°), все тригонометрические функции будут положительными.
Чтобы найти (\sin \alpha), используем основное тригонометрическое тождество:
[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
]
Подставим значение (\cos \alpha):
[
\sin^2 \alpha + \left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2 = 1
]
[
\sin^2 \alpha + \frac{5}{25} = 1
]
[
\sin^2 \alpha + \frac{1}{5} = 1
]
[
\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{5}
]
[
\sin^2 \alpha = \frac{5}{5} - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}
]
Теперь найдем (\sin \alpha):
[
\sin \alpha = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}
]
Теперь можем найти (\tan \alpha) и (\cot \alpha):
[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{\sqrt{5}}{5}} = 2
]
[
\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{2}
]
Теперь у нас есть все тригонометрические функции:
- (\sin \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5})
- (\cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5})
- (\tan \alpha = 2)
- (\cot \alpha = \frac{1}{2})
Теперь давайте найдем значение выражения:
[
\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cot \alpha}
]
Сначала найдем (1 - \sin^2 \alpha):
[
1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}
]
Теперь подставим в выражение:
[
\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{5} \cdot 2 = \frac{2}{5}
]
Таким образом, окончательные значения тригонометрических функций и выражения:
- (\sin \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5})
- (\cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5})
- (\tan \alpha = 2)
- (\cot \alpha = \frac{1}{2})
- (\frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cot \alpha} = \frac{2}{5})
Если будут еще вопросы, я с радостью помогу!
