х²-8х+15>0 3х²+11х-4<0 х²-9>0 2х-х²>0 (х-1)(х-3)>0 методом интервала

Давайте разберём каждое неравенство по очереди и решим их методом интервалов.

1. Решение неравенства \(x^2 - 8x + 15 > 0\)

Сначала найдём корни уравнения \(x^2 - 8x + 15 = 0\) с помощью формулы корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 1\), \(b = -8\), \(c = 15\).

Подставляем значения:

\[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} \]

Таким образом, корни равны:

\[ x_1 = 5, \quad x_2 = 3 \]

Теперь обозначим эти корни на числовой оси. У нас есть три интервала: \((-∞, 3)\), \((3, 5)\) и \((5, +∞)\).

Теперь проверим знак выражения в каждом интервале:

• Интервал \((-∞, 3)\): выберем, например, \(x = 0\):

\[ 0^2 - 8 \cdot 0 + 15 = 15 > 0 \]

• Интервал \((3, 5)\): выберем \(x = 4\):

\[ 4^2 - 8 \cdot 4 + 15 = 16 - 32 + 15 = -1 < 0 \]

• Интервал \((5, +∞)\): выберем \(x = 6\):

\[ 6^2 - 8 \cdot 6 + 15 = 36 - 48 + 15 = 3 > 0 \]

Таким образом, решение неравенства \(x^2 - 8x + 15 > 0\) находится в интервалах:

\[ (-∞, 3) \cup (5, +∞) \]

2. Решение неравенства \(3x^2 + 11x - 4 < 0\)

Сначала найдём корни уравнения \(3x^2 + 11x - 4 = 0\). Сравним:

\[ x = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{2 \cdot 3} \]

Подставляем:

\[ x = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 48}}{6} = \frac{-11 \pm \sqrt{169}}{6} \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{-11 + 13}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{-11 - 13}{6} = \frac{-24}{6} = -4 \]

Теперь выделим интервалы: \((-∞, -4)\), \((-4, \frac{1}{3})\) и \((\frac{1}{3}, +∞)\).

Проверим знак:

• Интервал \((-∞, -4)\): например, \(x = -5\):

\[ 3(-5)^2 + 11(-5) - 4 = 75 - 55 - 4 = 16 > 0 \]

• Интервал \((-4, \frac{1}{3})\): \(x = 0\):

\[ 3(0)^2 + 11(0) - 4 = -4 < 0 \]

• Интервал \((\frac{1}{3}, +∞)\): \(x = 1\):

\[ 3(1)^2 + 11(1) - 4 = 3 + 11 - 4 = 10 > 0 \]

Таким образом, решение неравенства \(3x^2 + 11x - 4 < 0\):

\[ (-4, \frac{1}{3}) \]

3. Решение неравенства \(x^2 - 9 > 0\)

Корни: \(x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = 3 \) и \(x = -3\).

Интервалы: \((-∞, -3)\), \((-3, 3)\) и \((3, +∞)\).

Проверяем:

• Интервал \((-∞, -3)\): \(x = -4\):

\[ (-4)^2 - 9 = 16 - 9 = 7 > 0 \]

• Интервал \((-3, 3)\): \(x = 0\):

\[ 0^2 - 9 = -9 < 0 \]

• Интервал \((3, +∞)\): \(x = 4\):

\[ 4^2 - 9 = 16 - 9 = 7 > 0 \]

Решение:

\[ (-∞, -3) \cup (3, +∞) \]

4. Решение неравенства \(2x - x^2 > 0\)

Перепишем неравенство:

\[ -x^2 + 2x > 0 \quad \Rightarrow \quad x(2 - x) > 0 \]

Корни: \(x = 0\) и \(x = 2\).

Интервалы: \((-∞, 0)\), \((0, 2)\) и \((2, +∞)\).

Проверяем:

• Интервал \((-∞, 0)\): \(x = -1\):

\[ -1(2 - (-1)) = -1 \cdot 3 < 0 \]

• Интервал \((0, 2)\): \(x = 1\):

\[ 1(2 - 1) = 1 > 0 \]

• Интервал \((2, +∞)\): \(x = 3\):

\[ 3(2 - 3) = 3 \cdot (-1) < 0 \]

Решение:

\[ (0, 2) \]

5. Решение неравенства \((x - 1)(x - 3) > 0\)

Корни: \(x = 1\) и \(x = 3\).

Интервалы: \((-∞, 1)\), \((1, 3)\) и \((3, +∞)\).

Проверяем:

• Интервал \((-∞, 1)\): \(x = 0\):

\[ (0 - 1)(0 - 3) = (-1)(-3) > 0 \]

• Интервал \((1, 3)\): \(x = 2\):

\[ (2 - 1)(2 - 3) = (1)(-1) < 0 \]

• Интервал \((3, +∞)\): \(x = 4\):

\[ (4 - 1)(4 - 3) = (3)(1) > 0 \]

Решение:

\[ (-∞, 1) \cup (3, +∞) \]

Итог:

1. \(x^2 - 8x + 15 > 0 \Rightarrow (-∞, 3) \cup (5, +∞)\)
2. \(3x^2 + 11x - 4 < 0 \Rightarrow (-4, \frac{1}{3})\)
3. \(x^2 - 9 > 0 \Rightarrow (-∞, -3) \cup (3, +∞)\)
4. \(2x - x^2 > 0 \Rightarrow (0, 2)\)
5. \((x - 1)(x - 3) > 0 \Rightarrow (-∞, 1) \cup (3, +∞)\)

Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!