Х²-8х+15>0 3х²+11х-4<0 х²-9>0 2х-х²>0 (х-1)(х-3)>0 методом интервала

Давайте разберём каждое неравенство по очереди и решим их методом интервалов. ### 1. Решение неравенства \(x^2 - 8x + 15 > 0\) Сначала найдём корни уравнения \(x^2 - 8x + 15 = 0\) с помощью формулы корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -8\), \(c = 15\). Подставляем значения: \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} \] Таким образом, корни равны: \[ x_1 = 5, \quad x_2 = 3 \] Теперь обозначим эти корни на числовой оси. У нас есть три интервала: \((-∞, 3)\), \((3, 5)\) и \((5, +∞)\). Теперь проверим знак выражения в каждом интервале: - **Интервал \((-∞, 3)\)**: выберем, например, \(x = 0\): \[ 0^2 - 8 \cdot 0 + 15 = 15 > 0 \] - **Интервал \((3, 5)\)**: выберем \(x = 4\): \[ 4^2 - 8 \cdot 4 + 15 = 16 - 32 + 15 = -1 < 0 \] - **Интервал \((5, +∞)\)**: выберем \(x = 6\): \[ 6^2 - 8 \cdot 6 + 15 = 36 - 48 + 15 = 3 > 0 \] Таким образом, решение неравенства \(x^2 - 8x + 15 > 0\) находится в интервалах: \[ (-∞, 3) \cup (5, +∞) \] ### 2. Решение неравенства \(3x^2 + 11x - 4 < 0\) Сначала найдём корни уравнения \(3x^2 + 11x - 4 = 0\). Сравним: \[ x = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4)}}{2 \cdot 3} \] Подставляем: \[ x = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 48}}{6} = \frac{-11 \pm \sqrt{169}}{6} \] Корни: \[ x_1 = \frac{-11 + 13}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{-11 - 13}{6} = \frac{-24}{6} = -4 \] Теперь выделим интервалы: \((-∞, -4)\), \((-4, \frac{1}{3})\) и \((\frac{1}{3}, +∞)\). Проверим знак: - **Интервал \((-∞, -4)\)**: например, \(x = -5\): \[ 3(-5)^2 + 11(-5) - 4 = 75 - 55 - 4 = 16 > 0 \] - **Интервал \((-4, \frac{1}{3})\)**: \(x = 0\): \[ 3(0)^2 + 11(0) - 4 = -4 < 0 \] - **Интервал \((\frac{1}{3}, +∞)\)**: \(x = 1\): \[ 3(1)^2 + 11(1) - 4 = 3 + 11 - 4 = 10 > 0 \] Таким образом, решение неравенства \(3x^2 + 11x - 4 < 0\): \[ (-4, \frac{1}{3}) \] ### 3. Решение неравенства \(x^2 - 9 > 0\) Корни: \(x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = 3 \) и \(x = -3\). Интервалы: \((-∞, -3)\), \((-3, 3)\) и \((3, +∞)\). Проверяем: - **Интервал \((-∞, -3)\)**: \(x = -4\): \[ (-4)^2 - 9 = 16 - 9 = 7 > 0 \] - **Интервал \((-3, 3)\)**: \(x = 0\): \[ 0^2 - 9 = -9 < 0 \] - **Интервал \((3, +∞)\)**: \(x = 4\): \[ 4^2 - 9 = 16 - 9 = 7 > 0 \] Решение: \[ (-∞, -3) \cup (3, +∞) \] ### 4. Решение неравенства \(2x - x^2 > 0\) Перепишем неравенство: \[ -x^2 + 2x > 0 \quad \Rightarrow \quad x(2 - x) > 0 \] Корни: \(x = 0\) и \(x = 2\). Интервалы: \((-∞, 0)\), \((0, 2)\) и \((2, +∞)\). Проверяем: - **Интервал \((-∞, 0)\)**: \(x = -1\): \[ -1(2 - (-1)) = -1 \cdot 3 < 0 \] - **Интервал \((0, 2)\)**: \(x = 1\): \[ 1(2 - 1) = 1 > 0 \] - **Интервал \((2, +∞)\)**: \(x = 3\): \[ 3(2 - 3) = 3 \cdot (-1) < 0 \] Решение: \[ (0, 2) \] ### 5. Решение неравенства \((x - 1)(x - 3) > 0\) Корни: \(x = 1\) и \(x = 3\). Интервалы: \((-∞, 1)\), \((1, 3)\) и \((3, +∞)\). Проверяем: - **Интервал \((-∞, 1)\)**: \(x = 0\): \[ (0 - 1)(0 - 3) = (-1)(-3) > 0 \] - **Интервал \((1, 3)\)**: \(x = 2\): \[ (2 - 1)(2 - 3) = (1)(-1) < 0 \] - **Интервал \((3, +∞)\)**: \(x = 4\): \[ (4 - 1)(4 - 3) = (3)(1) > 0 \] Решение: \[ (-∞, 1) \cup (3, +∞) \] ### Итог: 1. \(x^2 - 8x + 15 > 0 \Rightarrow (-∞, 3) \cup (5, +∞)\) 2. \(3x^2 + 11x - 4 < 0 \Rightarrow (-4, \frac{1}{3})\) 3. \(x^2 - 9 > 0 \Rightarrow (-∞, -3) \cup (3, +∞)\) 4. \(2x - x^2 > 0 \Rightarrow (0, 2)\) 5. \((x - 1)(x - 3) > 0 \Rightarrow (-∞, 1) \cup (3, +∞)\) Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!