4. В квадрате АBCD: О – точка пересечения диагоналей; S – не лежит в плоскости квадрата, SO1 АВС. Найдите угол между плоскостями ASD и BSC, если SO=7см, а АВ=14см. [

Чтобы найти угол между плоскостями ASD и BSC, давайте сначала обозначим необходимые параметры и поймем условия задачи.

1. Квадрат ABCD имеет стороны длиной AB = 14 см. Построим систему координат, в которой:

   • A(0, 0, 0)
   • B(14, 0, 0)
   • C(14, 14, 0)
   • D(0, 14, 0)

2. Точка O – точка пересечения диагоналей квадрата. Так как в квадрате диагонали пересекаются в середине, координаты точки O будут:

   • O(7, 7, 0)

3. Точка S не лежит в плоскости квадрата и имеет координаты S(7, 7, 7), если SO = 7 см.

Теперь у нас есть четыре точки, необходимые для построения плоскостей:

• Плоскость ASD: A(0, 0, 0), S(7, 7, 7), D(0, 14, 0)
• Плоскость BSC: B(14, 0, 0), S(7, 7, 7), C(14, 14, 0)

Шаг 1: Найти векторы для плоскостей

Для плоскости ASD:

• Вектор AS = S - A = (7, 7, 7) - (0, 0, 0) = (7, 7, 7)
• Вектор AD = D - A = (0, 14, 0) - (0, 0, 0) = (0, 14, 0)

Теперь найдем нормальный вектор плоскости ASD, используя векторное произведение: \[ \vec{n_1} = \vec{AS} \times \vec{AD} \]

\[ \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 7 & 7 & 7 \\ 0 & 14 & 0 \end{vmatrix} \] \[ \vec{n_1} = \hat{i}(7 \cdot 0 - 7 \cdot 14) - \hat{j}(7 \cdot 0 - 7 \cdot 0) + \hat{k}(7 \cdot 14 - 7 \cdot 0) \] \[ = -98\hat{i} + 0\hat{j} + 98\hat{k} \] \[ \vec{n_1} = (-98, 0, 98) \]

Для плоскости BSC:

• Вектор BS = S - B = (7, 7, 7) - (14, 0, 0) = (-7, 7, 7)
• Вектор BC = C - B = (14, 14, 0) - (14, 0, 0) = (0, 14, 0)

Находим нормальный вектор плоскости BSC: \[ \vec{n_2} = \vec{BS} \times \vec{BC} \]

\[ \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -7 & 7 & 7 \\ 0 & 14 & 0 \end{vmatrix} \] \[ \vec{n_2} = \hat{i}(7 \cdot 0 - 7 \cdot 14) - \hat{j}(-7 \cdot 0 - 7 \cdot 0) + \hat{k}(-7 \cdot 14 - 7 \cdot 0) \] \[ = -98\hat{i} + 0\hat{j} - 98\hat{k} \] \[ \vec{n_2} = (-98, 0, -98) \]

Шаг 2: Найти угол между плоскостями

Угол θ между двумя плоскостями можно найти с помощью косинуса угла между их нормальными векторами: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} \]

Сначала вычислим скалярное произведение: \[ \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (-98)(-98) + (0)(0) + (98)(-98) = 9604 - 9604 = 0 \]

Нормы векторов: \[ |\vec{n_1}| = \sqrt{(-98)^2 + 0^2 + 98^2} = \sqrt{9604 + 9604} = \sqrt{19208} = 14 \sqrt{98} \] \[ |\vec{n_2}| = \sqrt{(-98)^2 + 0^2 + (-98)^2} = \sqrt{9604 + 9604} = \sqrt{19208} = 14 \sqrt{98} \]

Так как скалярное произведение равно 0: \[ \cos(\theta) = 0 \] Это говорит о том, что угол между плоскостями ASD и BSC равен 90 градусов.

Ответ

Угол между плоскостями ASD и BSC равен 90°.