Для решения задачи о прямоугольной трапеции, сначала обозначим высоту прямоугольной трапеции как ( h ). Согласно условию, боковая сторона ( a ) в два раза больше высоты:
[
a = 2h.
]
Также известно, что основания трапеции равны ( a_1 = 4 ) см и ( a_2 = 10 ) см.
Следующий шаг — найти высоту ( h ). В прямоугольной трапеции, высота перпендикулярна основаниям, и боковая сторона также образует прямой угол с одним из оснований. В этом случае можем применить теорему Пифагора.
Принимаем, что боковая сторона ( a ) — это гипотенуза, а высота и отрезок, соединяющий проекции оснований, являются катетами. Отрезок, соединяющий проекции оснований, можно вычислить как разность оснований:
[
b = a_2 - a_1 = 10 - 4 = 6 \text{ см}.
]
Теперь применим теорему Пифагора к треугольнику, образованному высотой, отрезком ( b ) и боковой стороной ( a ):
[
a^2 = h^2 + b^2.
]
Подставим выражение для боковой стороны ( a = 2h ) и отрезок ( b = 6 ) см:
[
(2h)^2 = h^2 + 6^2.
]
Раскроем скобки:
[
4h^2 = h^2 + 36.
]
Переносим ( h^2 ) на одну сторону:
[
4h^2 - h^2 = 36,
]
[
3h^2 = 36.
]
Теперь делим обе стороны на 3:
[
h^2 = 12,
]
[
h = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3.46 \text{ см}.
]
Теперь находим боковую сторону ( a ):
[
a = 2h = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \approx 6.93 \text{ см}.
]
Теперь мы можем найти площадь ( S ) трапеции по формуле:
[
S = \frac{(a_1 + a_2) \times h}{2}.
]
Подставим значения:
[
S = \frac{(4 + 10) \times 2\sqrt{3}}{2} = \frac{14 \times 2\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3} \approx 24.25 \text{ см}^2.
]
Итак, боковая сторона трапеции равна ( 4\sqrt{3} ) см, а площадь трапеции составляет ( 14\sqrt{3} ) см².
