Чтобы найти область определения функции ( y = \sqrt{5x - x^2} ), необходимо убедиться, что выражение под квадратным корнем неотрицательное, поскольку квадратный корень определён только для неотрицательных чисел.
Таким образом, мы должны решить неравенство:
[ 5x - x^2 \geq 0. ]
Для этого сначала преобразуем неравенство:
[ -x^2 + 5x \geq 0. ]
Изменим знак у неравенства и уравнения:
[ x^2 - 5x \leq 0. ]
Теперь мы можем вынести ( x ) за скобки:
[ x(x - 5) \leq 0. ]
Определим корни этого уравнения: ( x = 0 ) и ( x = 5 ). Теперь можно найти промежутки, где данное неравенство выполняется.
На числовой оси имеем точки 0 и 5, и нужно проверить знаки на промежутках:
- Для ( x < 0 ) (например, ( x = -1 )): ( (-1)(-1 - 5) = (-1)(-6) > 0 ) (не подходит).
- Для ( 0 < x < 5 ) (например, ( x = 2 )): ( 2(2 - 5) = 2(-3) < 0 ) (подходит).
- Для ( x > 5 ) (например, ( x = 6 )): ( 6(6 - 5) = 6(1) > 0 ) (не подходит).
Таким образом, неравенство ( x(x - 5) \leq 0 ) выполняется на промежутке от 0 до 5, включая конец этих отрезков.
Следовательно, область определения функции ( y = \sqrt{5x - x^2} ) будет:
[ [0, 5]. ]
Это означает, что значение ( x ) должно находиться в пределах от 0 до 5.
