Решите неравенство x^2-4x-12>0
Чтобы решить неравенство \( x^2 - 4x - 12 > 0 \), следуем следующим шагам:
Найдём нули функции. Для этого решим уравнение \( x^2 - 4x - 12 = 0 \). Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64. \] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня.
Находим корни: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 8}{2} = 6, \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 8}{2} = -2. \]
Разделим числовую ось на интервалы, используя найденные корни \( x_1 \) и \( x_2 \). Мы получаем три интервала:
- \( (-\infty, -2) \)
- \( (-2, 6) \)
- \( (6, +\infty) \)
Выберем тестовые точки из каждого интервала, чтобы определить знак функции \( x^2 - 4x - 12 \) на этих интервалах.
- Для интервала \( (-\infty, -2) \) возьмём, например, \( x = -3 \): \[ (-3)^2 - 4(-3) - 12 = 9 + 12 - 12 = 9 > 0. \]
- Для интервала \( (-2, 6) \) возьмём \( x = 0 \): \[ 0^2 - 4 \cdot 0 - 12 = -12 < 0. \]
- Для интервала \( (6, +\infty) \) возьмём \( x = 7 \): \[ 7^2 - 4 \cdot 7 - 12 = 49 - 28 - 12 = 9 > 0. \]
Сделаем вывод. Мы выяснили, что функция положительна на интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (6, +\infty) \).
Таким образом, решение неравенства \( x^2 - 4x - 12 > 0 \) записывается следующим образом: \[ x \in (-\infty, -2) \cup (6, +\infty). \]
Теперь вы обладаете полным решением неравенства! Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь задавать!
