- Вероятность попадания снаряда на мост:
Сначала найдем площадь круга радиусом 50 метров. Площадь круга рассчитывается по формуле:
[
S = \pi r^2,
]
где ( r = 50 ) м.
Подставляем значение:
[
S = \pi (50^2) = \pi \cdot 2500 \approx 7854 \text{ м}^2.
]
Теперь найдем площадь моста, который имеет размеры 6 м на 20 м:
[
S_{\text{моста}} = 6 \cdot 20 = 120 \text{ м}^2.
]
Вероятность попадания снаряда на мост будет равна отношению площади моста к площади круга:
[
P = \frac{S_{\text{моста}}}{S} = \frac{120}{7854} \approx 0.0153.
]
Итак, вероятность того, что снаряд попадет на мост, примерно равна 0.0153 или 1.53%.
- Вероятность попадания точки в промежуток [3,5;4):
Длина отрезка [2;6] составляет:
[
6 - 2 = 4.
]
Длина промежутка [3,5;4) составляет:
[
4 - 3.5 = 0.5.
]
Вероятность попадания точки в промежуток будет равна отношению длины промежутка к длине всего отрезка:
[
P = \frac{0.5}{4} = 0.125.
]
Таким образом, вероятность того, что точка попадет в промежуток [3,5;4), равна 0.125 или 12.5%.
- Вероятность обрыва провода между 50 и 55 км:
Длина участка между 40-м и 70-м километрами составляет:
[
70 - 40 = 30 \text{ км}.
]
Длина отрезка между 50 и 55 километрами составляет:
[
55 - 50 = 5 \text{ км}.
]
Вероятность того, что обрыв произошёл между 50 и 55 км, будет равна отношению длины этого отрезка к длине всего участка:
[
P = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \approx 0.1667.
]
Таким образом, вероятность того, что обрыв провода произошёл между 50 и 55 километрами, равна примерно 0.1667 или 16.67%.
- Вероятность накрытия точки М отрезком длиной 1 см:
Площадь, в которой может находиться начало выделенного отрезка, составляет (9) см, так как если начальная точка выделенного отрезка находится от 0 до 9 см, то он полностью остается в пределах отрезка, длиной 10 см. Таким образом, границы:
- От 0 до 1 см точка накроет точку М.
- От 9 до 10 см точка не накроет.
Если отрезок будет двигаться от 0 до 9, он будет накрывать 1 см М. Если начинаем его с точки 0 до 9, точка М всегда попадает.
Таким образом:
[
P = \frac{9}{10} = 0.9.
]
Вероятность того, что выделенный отрезок накроет точку М, равна 0.9 или 90%.
- Вероятность того, что точка не попадает в треугольник:
Сначала найдем площадь круга радиусом 2 см:
[
S = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (2^2) = 4\pi \approx 12.57 \text{ см}^2.
]
Теперь найдем площадь вписанного равнобедренного прямоугольного треугольника. Если предположить, что он равносторонний, высота такого треугольника будет равна радиусу круга, т.е. 2 см.
Площадь треугольника:
[
S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h,
]
где ( a ) - основание, а ( h ) - высота. Предположим основание треугольника равное диаметру круга (4 см):
[
S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4 \text{ см}^2.
]
Теперь рассчитаем вероятность попадания точки в треугольник:
[
P_{\text{попадания}} = \frac{S_{\text{треугольника}}}{S} = \frac{4}{4\pi} \approx 0.318.
]
Соответственно, вероятность того, что точка не попадёт в данный треугольник:
[
P_{\text{непопадания}} = 1 - P_{\text{попадания}} = 1 - 0.318 \approx 0.682.
]
Таким образом, вероятность того, что точка не попадёт в треугольник, составляет примерно 0.682 или 68.2%.
