найти первую производную функции y= (arctg (x+√ln(x))) ^3
Чтобы найти первую производную функции \( y = (\arctan(x + \sqrt{\ln(x)}))^3 \), будем использовать правило цепи и правила производной.
Обозначим \( u = \arctan(x + \sqrt{\ln(x)}) \). Тогда \( y = u^3 \).
Сначала находим производную \( y \) по \( u \): \[ \frac{dy}{du} = 3u^2 \]
Далее, найдем производную \( u \) по \( x \): \[ u = \arctan(x + \sqrt{\ln(x)}) \]
Для этого используем правило производной арктангенса: \[ \frac{du}{dx} = \frac{1}{1 + (x + \sqrt{\ln(x)})^2} \cdot \frac{d}{dx}(x + \sqrt{\ln(x)}) \]
Находим производную \( x + \sqrt{\ln(x)} \): \[ \frac{d}{dx}(x + \sqrt{\ln(x)}) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{\ln(x)}} \cdot \frac{1}{x} \] Здесь мы использовали правило производной сложной функции для \( \sqrt{\ln(x)} \).
Объединив все компоненты, получаем: \[ \frac{du}{dx} = \frac{1 + \frac{1}{2\sqrt{\ln(x)}} \cdot \frac{1}{x}}{1 + (x + \sqrt{\ln(x)})^2} \]
Теперь можем найти полную производную \( y \) по \( x \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot \frac{du}{dx} \]
Подставляем \( u \) обратно в уравнение: \[ \frac{dy}{dx} = 3(\arctan(x + \sqrt{\ln(x)}))^2 \cdot \frac{1 + \frac{1}{2\sqrt{\ln(x)}} \cdot \frac{1}{x}}{1 + (x + \sqrt{\ln(x)})^2} \]
Это и есть первая производная функции \( y \). Теперь у вас есть полное выражение для производной! Если будут вопросы по каким-либо шагам, не стесняйтесь задавать!
