2. Решите неравенство log0.5 (x²-7x+12)> log0.5(17-3x) и укажите количество его целочисленных реше ний.

Для решения неравенства \( \log_{0.5}(x^2 - 7x + 12) > \log_{0.5}(17 - 3x) \) начнем с того, что логарифм с основанием \( 0.5 \) является убывающей функцией. Это значит, что мы можем переписать неравенство, поменяв его знак на противоположный: \[ x^2 - 7x + 12 < 17 - 3x. \] Теперь упрощаем данное неравенство: \[ x^2 - 7x + 12 < 17 - 3x \implies x^2 - 7x + 3x + 12 - 17 < 0 \implies x^2 - 4x - 5 < 0. \] Теперь решим соответствующее квадратное уравнение: \[ x^2 - 4x - 5 = 0. \] Для нахождения корней используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36. \] Корни уравнения находятся по формуле: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 6}{2}. \] Решения будут: \[ x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1. \] Теперь мы знаем, что уравнение \( x^2 - 4x - 5 = 0 \) имеет корни \( -1 \) и \( 5 \). Определим, на каких интервалах выполняется неравенство \( x^2 - 4x - 5 < 0 \): 1. \( x < -1 \) 2. \( -1 < x < 5 \) 3. \( x > 5 \) Анализируя знаки в каждом из этих интервалов, находим, что неравенство выполняется в интервале \( (-1, 5) \). Теперь необходимо найти количество целых решений в этом интервале: Целые числа, принадлежащие интервалу \( (-1, 5) \): - \( 0, 1, 2, 3, 4 \) Таким образом, существует 5 целых решений для данного неравенства. Ответ: количество целочисленных решений равно 5.