2. Решите неравенство log0.5 (x²-7x+12)> log0.5(17-3x) и укажите количество его целочисленных реше ний.

Для решения неравенства \( \log_{0.5}(x^2 - 7x + 12) > \log_{0.5}(17 - 3x) \) начнем с того, что логарифм с основанием \( 0.5 \) является убывающей функцией. Это значит, что мы можем переписать неравенство, поменяв его знак на противоположный:

\[ x^2 - 7x + 12 < 17 - 3x. \]

Теперь упрощаем данное неравенство:

\[ x^2 - 7x + 12 < 17 - 3x \implies x^2 - 7x + 3x + 12 - 17 < 0 \implies x^2 - 4x - 5 < 0. \]

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение:

\[ x^2 - 4x - 5 = 0. \]

Для нахождения корней используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36. \]

Корни уравнения находятся по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 6}{2}. \]

Решения будут:

\[ x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1. \]

Теперь мы знаем, что уравнение \( x^2 - 4x - 5 = 0 \) имеет корни \( -1 \) и \( 5 \). Определим, на каких интервалах выполняется неравенство \( x^2 - 4x - 5 < 0 \):

1. \( x < -1 \)
2. \( -1 < x < 5 \)
3. \( x > 5 \)

Анализируя знаки в каждом из этих интервалов, находим, что неравенство выполняется в интервале \( (-1, 5) \).

Теперь необходимо найти количество целых решений в этом интервале:

Целые числа, принадлежащие интервалу \( (-1, 5) \):

• \( 0, 1, 2, 3, 4 \)

Таким образом, существует 5 целых решений для данного неравенства.

Ответ: количество целочисленных решений равно 5.