2. Решите неравенство log0.5 (x²-7x+12)> log0.5 (17-3x) и укажите количество его целочисленных реше ний.
Для решения неравенства \( \log_{0.5} (x^2 - 7x + 12) > \log_{0.5} (17 - 3x) \) начнем с того, что учтем свойства логарифмов. Поскольку основание логарифма (0.5) меньше 1, знак неравенства изменится при исключении логарифмов. Таким образом, мы можем переписать неравенство следующим образом:
\[ x^2 - 7x + 12 < 17 - 3x. \]
Теперь перенесем все члены в одну сторону:
\[ x^2 - 7x + 3x + 12 - 17 < 0, \] \[ x^2 - 4x - 5 < 0. \]
Теперь можем разложить левую часть на множители:
\[ x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1). \]
Теперь мы решим неравенство:
\[ (x - 5)(x + 1) < 0. \]
Для того чтобы определить, где это произведение отрицательно, найдем нули множителей:
- \( x - 5 = 0 \) при \( x = 5 \).
- \( x + 1 = 0 \) при \( x = -1 \).
Теперь мы имеем точки, разделяющие числовую ось на интервалы. Рассмотрим интервалы:
- \( (-\infty, -1) \)
- \( (-1, 5) \)
- \( (5, +\infty) \)
Теперь проверим знак произведения на каждом из этих интервалов:
- Для \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \( (-2 - 5)(-2 + 1) = (-7)(-1) > 0 \) (положительный).
- Для \( -1 < x < 5 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0 - 5)(0 + 1) = (-5)(1) < 0 \) (отрицательный).
- Для \( x > 5 \) (например, \( x = 6 \)): \( (6 - 5)(6 + 1) = (1)(7) > 0 \) (положительный).
Таким образом, неравенство \( (x - 5)(x + 1) < 0 \) выполняется на интервале \( (-1, 5) \).
Теперь найдем целые решения этого неравенства. Интервал \( (-1, 5) \) включает следующие целые числа:
- \( 0 \)
- \( 1 \)
- \( 2 \)
- \( 3 \)
- \( 4 \)
Таким образом, количество целочисленных решений неравенства равно 5.
