Для решения неравенства ( \log_{0.5} (x^2 - 7x + 12) > \log_{0.5} (17 - 3x) ) начнем с того, что учтем свойства логарифмов. Поскольку основание логарифма (0.5) меньше 1, знак неравенства изменится при исключении логарифмов. Таким образом, мы можем переписать неравенство следующим образом:
[ x^2 - 7x + 12 < 17 - 3x. ]
Теперь перенесем все члены в одну сторону:
[ x^2 - 7x + 3x + 12 - 17 < 0, ]
[ x^2 - 4x - 5 < 0. ]
Теперь можем разложить левую часть на множители:
[ x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1). ]
Теперь мы решим неравенство:
[ (x - 5)(x + 1) < 0. ]
Для того чтобы определить, где это произведение отрицательно, найдем нули множителей:
- ( x - 5 = 0 ) при ( x = 5 ).
- ( x + 1 = 0 ) при ( x = -1 ).
Теперь мы имеем точки, разделяющие числовую ось на интервалы. Рассмотрим интервалы:
- ( (-\infty, -1) )
- ( (-1, 5) )
- ( (5, +\infty) )
Теперь проверим знак произведения на каждом из этих интервалов:
- Для ( x < -1 ) (например, ( x = -2 )): ( (-2 - 5)(-2 + 1) = (-7)(-1) > 0 ) (положительный).
- Для ( -1 < x < 5 ) (например, ( x = 0 )): ( (0 - 5)(0 + 1) = (-5)(1) < 0 ) (отрицательный).
- Для ( x > 5 ) (например, ( x = 6 )): ( (6 - 5)(6 + 1) = (1)(7) > 0 ) (положительный).
Таким образом, неравенство ( (x - 5)(x + 1) < 0 ) выполняется на интервале ( (-1, 5) ).
Теперь найдем целые решения этого неравенства. Интервал ( (-1, 5) ) включает следующие целые числа:
- ( 0 )
- ( 1 )
- ( 2 )
- ( 3 )
- ( 4 )
Таким образом, количество целочисленных решений неравенства равно 5.
