решить примеры: 1. cos x+П/3x(x на верху) 2. ln x - sin x 3. x⁵ ln x 4. tg 4x 5. e(1-7x на верху)
Конечно! Рассмотрим каждый из этих примеров.
cos(x + π/3)
Чтобы выразить это более наглядно, можно использовать формулу сложения для косинуса:
\( \cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b \).
В нашем случае:
\[ \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos x \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin x \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \]
Так как \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \) и \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем:
\[ \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos x \cdot \frac{1}{2} - \sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \].
Или можно записать так:
\[ \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \].ln(x) - sin(x)
Это выражение не требует преобразования, однако вы можете проанализировать его поведение, например, найти его производную:
\[ \frac{d}{dx}(\ln x - \sin x) = \frac{1}{x} - \cos x \].
Это позволяет вам узнать, где выражение возрастает или убывает.x⁵ ln x
Для нахождения производной используем правило произведения:
Если \( u = x^5 \) и \( v = \ln x \), то:
\[ \frac{d}{dx}(u \cdot v) = u'v + uv' \].
Найдем производные \( u' = 5x^4 \) и \( v' = \frac{1}{x} \):
\[ \frac{d}{dx}(x^5 \ln x) = 5x^4 \ln x + x^5 \cdot \frac{1}{x} = 5x^4 \ln x + x^4 = x^4(5 \ln x + 1) \].tg(4x)
Производная функции тангенса выглядит следующим образом:
\[ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \].
Поэтому, для функции \( \tan(4x) \):
\[ \frac{d}{dx}(\tan(4x)) = 4 \sec^2(4x) \].
Мы умножаем на 4, поскольку это производная внутренней функции \( 4x \).e^(1 - 7x)
Для этой функции можно использовать правило производной для экспоненты:
\[ \frac{d}{dx}(e^{f(x)}) = e^{f(x)} \cdot f'(x) \].
Здесь \( f(x) = 1 - 7x \), и его производная \( f'(x) = -7 \).
Следовательно:
\[ \frac{d}{dx}(e^{1 - 7x}) = e^{1 - 7x} \cdot (-7) = -7e^{1 - 7x} \].
Если у вас есть дополнительные вопросы или примеры, которые нужно разобрать, не стесняйтесь задавать!
