Решить примеры: 1. cos x+П/3x(x на верху) 2. ln x - sin x 3. x⁵ ln x 4. tg 4x 5. e(1-7x на верху)

Конечно! Рассмотрим каждый из этих примеров. 1. **cos(x + π/3)** Чтобы выразить это более наглядно, можно использовать формулу сложения для косинуса: \( \cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b \). В нашем случае: \[ \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos x \cdot \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin x \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \] Так как \( \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \) и \( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем: \[ \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \cos x \cdot \frac{1}{2} - \sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]. Или можно записать так: \[ \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \]. 2. **ln(x) - sin(x)** Это выражение не требует преобразования, однако вы можете проанализировать его поведение, например, найти его производную: \[ \frac{d}{dx}(\ln x - \sin x) = \frac{1}{x} - \cos x \]. Это позволяет вам узнать, где выражение возрастает или убывает. 3. **x⁵ ln x** Для нахождения производной используем правило произведения: Если \( u = x^5 \) и \( v = \ln x \), то: \[ \frac{d}{dx}(u \cdot v) = u'v + uv' \]. Найдем производные \( u' = 5x^4 \) и \( v' = \frac{1}{x} \): \[ \frac{d}{dx}(x^5 \ln x) = 5x^4 \ln x + x^5 \cdot \frac{1}{x} = 5x^4 \ln x + x^4 = x^4(5 \ln x + 1) \]. 4. **tg(4x)** Производная функции тангенса выглядит следующим образом: \[ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \]. Поэтому, для функции \( \tan(4x) \): \[ \frac{d}{dx}(\tan(4x)) = 4 \sec^2(4x) \]. Мы умножаем на 4, поскольку это производная внутренней функции \( 4x \). 5. **e^(1 - 7x)** Для этой функции можно использовать правило производной для экспоненты: \[ \frac{d}{dx}(e^{f(x)}) = e^{f(x)} \cdot f'(x) \]. Здесь \( f(x) = 1 - 7x \), и его производная \( f'(x) = -7 \). Следовательно: \[ \frac{d}{dx}(e^{1 - 7x}) = e^{1 - 7x} \cdot (-7) = -7e^{1 - 7x} \]. Если у вас есть дополнительные вопросы или примеры, которые нужно разобрать, не стесняйтесь задавать!