Отлично, давайте пошагово решим ваше задание по интегралам.
1) Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница
Давайте начнем с вычисления определенного интеграла (\int_{1}^{3} 3x^2 , dx).
Сначала найдем первообразную функции (3x^2):
[
F(x) = x^3 + C
]
Теперь вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
[
\int_{1}^{3} 3x^2 , dx = F(3) - F(1) = (3^3) - (1^3) = 27 - 1 = 26
]
2) Приближенное вычисление интеграла по формуле прямоугольников
Для использования формулы прямоугольников (анализируя деление на 2 равные части):
[
x_0 = 1, \quad x_1 = 2, \quad x_2 = 3
]
Ширина каждого подынтервала:
[
\Delta x = 1
]
Значения функции на левой границе:
- (f(1) = 3 \cdot 1^2 = 3)
- (f(2) = 3 \cdot 2^2 = 12)
Приближенное значение интеграла:
[
I \approx \Delta x (f(1) + f(2)) = 1 (3 + 12) = 15
]
3) Приближенное вычисление интеграла по формуле трапеций
Используем те же подынтервалы:
[
\int_{1}^{3} 3x^2 , dx \approx \frac{\Delta x}{2} (f(1) + f(3)) = \frac{2}{2} (3 + 27) = 1 \cdot 30 = 30
]
4) Приближенное вычисление интеграла по формуле Симпсона
Для формулы Симпсона также нужно использовать точки (x_0 = 1), (x_1 = 2), (x_2 = 3):
[
\int_{1}^{3} 3x^2 , dx \approx \frac{\Delta x}{6} (f(1) + 4f(2) + f(3))
]
где (\Delta x = 2):
[
= \frac{2}{6} (3 + 4 \cdot 12 + 27) = \frac{1}{3} (3 + 48 + 27) = \frac{1}{3} \cdot 78 = 26
]
5) Оценка погрешности по каждой формуле
Формула Ньютона-Лейбница: точное значение (26).
Формула прямоугольников: приблизительное значение (15). Погрешность: (26 - 15 = 11).
Формула трапеций: приблизительное значение (30). Погрешность: (30 - 26 = 4).
Формула Симпсона: приблизительное значение (26). Погрешность: (26 - 26 = 0) (точное значение).
Итог
- Ньютон-Лейбниц: (26) (точно)
- Прямоугольники: (15) (погрешность (11))
- Трапеции: (30) (погрешность (4))
- Симпсон: (26) (погрешность (0))
Если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется помощь с другими темами, буду рад помочь!
