Задание: 1. Исходные данные: интеграл 3 1 3x^2dx 1) Вычислить определенный интеграл точно по формуле Ньютона-Лейбница. 2) Вычислить определенный интеграл приблизительно по формуле…

Отлично, давайте пошагово решим ваше задание по интегралам.

1) Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница

Давайте начнем с вычисления определенного интеграла \(\int_{1}^{3} 3x^2 \, dx\).

Сначала найдем первообразную функции \(3x^2\): \[ F(x) = x^3 + C \]

Теперь вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: \[ \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx = F(3) - F(1) = (3^3) - (1^3) = 27 - 1 = 26 \]

2) Приближенное вычисление интеграла по формуле прямоугольников

Для использования формулы прямоугольников (анализируя деление на 2 равные части):

\[ x_0 = 1, \quad x_1 = 2, \quad x_2 = 3 \]

Ширина каждого подынтервала: \[ \Delta x = 1 \]

Значения функции на левой границе:

• \(f(1) = 3 \cdot 1^2 = 3\)
• \(f(2) = 3 \cdot 2^2 = 12\)

Приближенное значение интеграла: \[ I \approx \Delta x (f(1) + f(2)) = 1 (3 + 12) = 15 \]

3) Приближенное вычисление интеграла по формуле трапеций

Используем те же подынтервалы:

\[ \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx \approx \frac{\Delta x}{2} (f(1) + f(3)) = \frac{2}{2} (3 + 27) = 1 \cdot 30 = 30 \]

4) Приближенное вычисление интеграла по формуле Симпсона

Для формулы Симпсона также нужно использовать точки \(x_0 = 1\), \(x_1 = 2\), \(x_2 = 3\):

\[ \int_{1}^{3} 3x^2 \, dx \approx \frac{\Delta x}{6} (f(1) + 4f(2) + f(3)) \] где \(\Delta x = 2\): \[ = \frac{2}{6} (3 + 4 \cdot 12 + 27) = \frac{1}{3} (3 + 48 + 27) = \frac{1}{3} \cdot 78 = 26 \]

5) Оценка погрешности по каждой формуле

• Формула Ньютона-Лейбница: точное значение \(26\).

• Формула прямоугольников: приблизительное значение \(15\). Погрешность: \(26 - 15 = 11\).

• Формула трапеций: приблизительное значение \(30\). Погрешность: \(30 - 26 = 4\).

• Формула Симпсона: приблизительное значение \(26\). Погрешность: \(26 - 26 = 0\) (точное значение).

Итог

• Ньютон-Лейбниц: \(26\) (точно)
• Прямоугольники: \(15\) (погрешность \(11\))
• Трапеции: \(30\) (погрешность \(4\))
• Симпсон: \(26\) (погрешность \(0\))

Если у вас возникнут дополнительные вопросы или потребуется помощь с другими темами, буду рад помочь!