Для решения вопросов, связанных с испытанием Бернулли, мы можем воспользоваться формулой для биномиального распределения.
- Монету бросают 8 раз, найдите вероятность того, что герб выпадет не менее 2 раз.
Монета имеет две стороны, значит, вероятность выпадения герба (H) составляет ( p = 0.5 ). Количество бросков ( n = 8 ).
Мы ищем вероятность того, что герб выпадет не менее 2 раз. Для этого сначала найдем вероятность того, что герб выпадет 0 или 1 раз и вычтем это значение из 1.
Вероятность получить 0 гербов:
[
P(X = 0) = C(8, 0) \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^8 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{256} = \frac{1}{256}
]
Вероятность получить 1 герб:
[
P(X = 1) = C(8, 1) \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^7 = 8 \cdot 0.5 \cdot \frac{1}{128} = \frac{8}{256} = \frac{1}{32}
]
Теперь сложим вероятности для 0 и 1 герба:
[
P(X = 0 \text{ или } X = 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = \frac{1}{256} + \frac{8}{256} = \frac{9}{256}
]
Таким образом, вероятность того, что герб выпадет не менее 2 раз:
[
P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0 \text{ или } X = 1) = 1 - \frac{9}{256} = \frac{247}{256}
]
- В семье 6 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей не менее двух мальчиков. Принять вероятность рождения мальчика равной 0,51.
Здесь вероятность рождения мальчика ( p = 0.51 ), а вероятность рождения девочки ( q = 0.49 ). Количество детей ( n = 6 ).
Мы ищем вероятность того, что в семье не менее двух мальчиков. Сначала найдем вероятность того, что мальчиков будет 0 или 1.
Вероятность получить 0 мальчиков:
[
P(X = 0) = C(6, 0) \cdot (0.51)^0 \cdot (0.49)^6 = 1 \cdot 1 \cdot (0.49)^6 \approx 0.0136
]
Вероятность получить 1 мальчика:
[
P(X = 1) = C(6, 1) \cdot (0.51)^1 \cdot (0.49)^5 = 6 \cdot 0.51 \cdot (0.49)^5 \approx 0.1110
]
Теперь сложим вероятности для 0 и 1 мальчика:
[
P(X = 0 \text{ или } X = 1) = P(X = 0) + P(X = 1) \approx 0.0136 + 0.1110 \approx 0.1246
]
Таким образом, вероятность того, что среди детей не менее двух мальчиков:
[
P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0 \text{ или } X = 1) \approx 1 - 0.1246 \approx 0.8754
]
В результатах мы получили:
- Вероятность того, что герб выпадет не менее 2 раз: ( \frac{247}{256} ) или примерно 0.965.
- Вероятность того, что не менее двух мальчиков: примерно 0.8754.
