Решите методом интервалов: (2-x)(x+1)(5x-2)<0

Для решения неравенства методом интервалов \( (2 - x)(x + 1)(5x - 2) < 0 \), выполните следующие шаги: 1. **Найдите нули выражения.** Это точки, когда каждое множитель равен нулю: - \( 2 - x = 0 \) ⇒ \( x = 2 \) - \( x + 1 = 0 \) ⇒ \( x = -1 \) - \( 5x - 2 = 0 \) ⇒ \( x = \frac{2}{5} \) Таким образом, нули функции: \( x = -1, \, x = \frac{2}{5}, \, x = 2 \). 2. **Построение интервалов.** Эти нули разбивают прямую на следующие интервалы: - \( (-\infty, -1) \) - \( (-1, \frac{2}{5}) \) - \( (\frac{2}{5}, 2) \) - \( (2, +\infty) \) 3. **Выберите тестовые точки в каждом интервале.** Мы подберем точки из каждого интервала и подставим их в выражение \( (2 - x)(x + 1)(5x - 2) \): - Для интервала \( (-\infty, -1) \), возьмем точку \( x = -2 \): \[ (2 - (-2))( -2 + 1)(5(-2) - 2) = (4)(-1)(-12) > 0 \] - Для интервала \( (-1, \frac{2}{5}) \), возьмем \( x = 0 \): \[ (2 - 0)(0 + 1)(5(0) - 2) = (2)(1)(-2) < 0 \] - Для интервала \( (\frac{2}{5}, 2) \), возьмем \( x = 1 \): \[ (2 - 1)(1 + 1)(5(1) - 2) = (1)(2)(3) > 0 \] - Для интервала \( (2, +\infty) \), возьмем \( x = 3 \): \[ (2 - 3)(3 + 1)(5(3) - 2) = (-1)(4)(13) < 0 \] 4. **Определите знаки на интервалах:** - \( (-\infty, -1) \): \( > 0 \) - \( (-1, \frac{2}{5}) \): \( < 0 \) - \( (\frac{2}{5}, 2) \): \( > 0 \) - \( (2, +\infty) \): \( < 0 \) 5. **Запишите окончательный ответ.** Мы ищем, где произведение меньше нуля: - \( (-1, \frac{2}{5}) \) и \( (2, +\infty) \). Таким образом, решение неравенства \( (2 - x)(x + 1)(5x - 2) < 0 \) записывается как: \[ x \in (-1, \frac{2}{5}) \cup (2, +\infty) \]