решите методом интервалов: (2-x)(x+1)(5x-2)<0

Для решения неравенства методом интервалов \( (2 - x)(x + 1)(5x - 2) < 0 \), выполните следующие шаги:

1. Найдите нули выражения. Это точки, когда каждое множитель равен нулю:

   • \( 2 - x = 0 \) ⇒ \( x = 2 \)
   • \( x + 1 = 0 \) ⇒ \( x = -1 \)
   • \( 5x - 2 = 0 \) ⇒ \( x = \frac{2}{5} \)

   Таким образом, нули функции: \( x = -1, \, x = \frac{2}{5}, \, x = 2 \).

2. Построение интервалов. Эти нули разбивают прямую на следующие интервалы:

   • \( (-\infty, -1) \)
   • \( (-1, \frac{2}{5}) \)
   • \( (\frac{2}{5}, 2) \)
   • \( (2, +\infty) \)

3. Выберите тестовые точки в каждом интервале. Мы подберем точки из каждого интервала и подставим их в выражение \( (2 - x)(x + 1)(5x - 2) \):

   • Для интервала \( (-\infty, -1) \), возьмем точку \( x = -2 \): \[ (2 - (-2))( -2 + 1)(5(-2) - 2) = (4)(-1)(-12) > 0 \]
   • Для интервала \( (-1, \frac{2}{5}) \), возьмем \( x = 0 \): \[ (2 - 0)(0 + 1)(5(0) - 2) = (2)(1)(-2) < 0 \]
   • Для интервала \( (\frac{2}{5}, 2) \), возьмем \( x = 1 \): \[ (2 - 1)(1 + 1)(5(1) - 2) = (1)(2)(3) > 0 \]
   • Для интервала \( (2, +\infty) \), возьмем \( x = 3 \): \[ (2 - 3)(3 + 1)(5(3) - 2) = (-1)(4)(13) < 0 \]

4. Определите знаки на интервалах:

   • \( (-\infty, -1) \): \( > 0 \)
   • \( (-1, \frac{2}{5}) \): \( < 0 \)
   • \( (\frac{2}{5}, 2) \): \( > 0 \)
   • \( (2, +\infty) \): \( < 0 \)

5. Запишите окончательный ответ. Мы ищем, где произведение меньше нуля:

   • \( (-1, \frac{2}{5}) \) и \( (2, +\infty) \).

Таким образом, решение неравенства \( (2 - x)(x + 1)(5x - 2) < 0 \) записывается как: \[ x \in (-1, \frac{2}{5}) \cup (2, +\infty) \]