40 книг расставили на 3 полки сначала так, что на ниж- ней полке книг было столько, сколько на двух других. Затем 5 книг с верхней полки переставили на среднюю так, что на этих…
40 книг расставили на 3 полки сначала так, что на ниж- ней полке книг было столько, сколько на двух других. Затем 5 книг с верхней полки переставили на среднюю так, что на этих двух полках книг стало одинаковое коли- чество. Сколько книг было сначала на каждой полке?
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим количество книг на нижней полке как \( x \), на средней полке как \( y \), и на верхней полке как \( z \).
Согласно условию, у нас есть три уравнения:
Общее количество книг на всех полках: \[ x + y + z = 40 \]
На нижней полке книг столько, сколько на двух других вместе: \[ x = y + z \]
После того как 5 книг с верхней полки перенесли на среднюю, количество книг на этих двух полках стало одинаковым: \[ y + 5 = z - 5 \]
Теперь решим уравнения. Начнем с уравнения (2) и подставим его в (1):
\[ (y + z) + y + z = 40 \] \[ 2z = 40 \] \[ z = 20 \]
Теперь подставим значение \( z \) обратно в уравнение (2): \[ x = y + 20 \]
Подставим это в (1): \[ (y + 20) + y + 20 = 40 \] \[ 2y + 40 = 40 \] \[ 2y = 0 \] \[ y = 0 \]
Теперь, зная \( y \), можем найти \( x \) и \( z \): \[ x = 0 + 20 = 20 \] \[ z = 20 \]
Мы получаем следующие значения:
- На нижней полке \( x = 20 \) книг,
- На средней полке \( y = 0 \) книг,
- На верхней полке \( z = 20 \) книг.
Однако это решение не соответствует условиям задачи, так как на средней полке не может быть ноль книг, когда со средней полки передвинули книги. Давайте вернемся к третьему уравнению, исправив наши предположения о \( y \) и повторно разберем задачу:
Мы применяем уравнение (2) \( x = y + z \) к уравнению (1).
Передаем уравнения (1) и (2):
- \( x + y + z = 40 \)
- \( x - y - z = 0 \)
Теперь (2) можно выразить как \( x = y + z \) и подставить в (1): \[ (y + z) + y + z = 40 \] \[ 2z + 2y = 40 \]
Из этого \( y + z = 20 \).
Используем (3): \[ y + 5 = z - 5 \] \[ y + 10 = z \]
Подставим \( z \) из \( y + 10 \) в уравнение \( y + z = 20 \): \[ y + (y + 10) = 20 \] \[ 2y + 10 = 20 \] \[ 2y = 10 \] \[ y = 5 \]
Теперь найдем \( z \): \[ z = y + 10 = 5 + 10 = 15 \]
И теперь можем найти \( x \): \[ x = y + z = 5 + 15 = 20 \]
Таким образом, изначально на полках было:
- На нижней полке: 20 книг,
- На средней полке: 5 книг,
- На верхней полке: 15 книг.
Ответ: 20 книг на нижней полке, 5 книг на средней полке, 15 книг на верхней полке.
