В числовом наборе 180 чисел. Если вычеркнуть произвольно одно из них, то медиана станет равной 75, а если другое — 61. Найдите медиану числового набора до вычёркивания чисел.

Для решения задачи обозначим начальную медиану набора из 180 чисел как \( M \).

1. Если вычеркнуть число, которое не изменяет порядок чисел вокруг медианы, то медиана не изменится. Для чисел в нашем наборе это означает, что, если \( M \) - медиана, то \( M \) будет находиться на позиции 90 или 91 в отсортированном списке.

2. Если одно вычеркнутое число приводит к медиане 75, это означает, что в новом наборе из 179 чисел медиана уже не может быть равной текущей медиане \( M \) (то есть \( M \neq 75 \)). Также вычеркнутое число не должно быть больше 75, иначе медиана не могла бы снизиться до 75. Следовательно, вычеркнутое число должно находиться между \( M \) и 75 или быть равным 75.

3. Аналогично, если другое вычеркнутое число приводит к медиане 61, это число должно быть меньше медианы \( M \).

Теперь мы можем записать эти две ситуации следующим образом:

• Когда вычеркнули первое число, медиана стала равной 75, что означает, что из оставшихся 179 чисел 90 из них меньше или равны 75.
• Когда вычеркнули второе число, медиана стала равной 61, и это означает, что из оставшихся 179 чисел 90 из них меньше или равны 61.

Учитывая эти факты, можно заключить, что медиана \( M \) находится между 61 и 75.

Теперь рассмотрим, что если \( M \) находится между 61 и 75, то медиана до удаления должна находиться ближе к верхнему значению, по аналогии с тем, что медианы новых наборов (75 и 61) все равно становятся больше или меньше медианы начального набора.

Таким образом можно записать:

• Если вычеркивается число ниже медианы, медиана рано или поздно будет выше 61.

Кроме того, если предположить, что медиана \( M = 68 \) (разберем пример):

• Если вычеркнуть число, равное 75 (например), и в оставшихся числах будут 90 чисел меньше 75, и 90 чисел больше 75, средняя величина будет подниматься до 75.
• Если же вычеркнуть число, равное, скажем, 70, в 179 числах окажется более 90 ниже 61, и медиана в таком случае меньше чем 68.

Вывод

Судя по всему, чтобы сохранить эти соотношения, медиана \( M = 68 \) будет правильной. Это согласуется с тем, что вычеркнув два числа, мы можем настроить, чтобы одна медиана касалась 75, другая 61.

Таким образом, медиана набора до вычеркивания чисел равна 68.