Конечно! Давайте разберем каждую часть вашего задания по нахождению производных и другим задачам.
1. Найти производные:
а) ( y = 7 + 3x^2 + 2x^5 + x^3 )
Для нахождения производной используем правило степени:
[
\frac{dy}{dx} = 0 + 6x + 10x^4 + 3x^2 = 10x^4 + 6x + 3x^2
]
б) ( y = (x + 1) \sin x )
Применяем правило произведения:
[
\frac{dy}{dx} = (x + 1) \cos x + \sin x \cdot 1 = (x + 1) \cos x + \sin x
]
в) ( y = \cos(x) \cdot x )
Снова используем правило произведения:
[
\frac{dy}{dx} = -\sin(x) \cdot x + \cos(x) \cdot 1 = -x \sin(x) + \cos(x)
]
г) ( y = \tan(x) + \sin(x) )
Нахождение производной:
[
\frac{dy}{dx} = \sec^2(x) + \cos(x)
]
д) ( y = \sin^2(x) + x )
Здесь нужно использовать правило цепи:
[
\frac{dy}{dx} = 2\sin(x) \cos(x) + 1 = \sin(2x) + 1
]
е) ( y = \arccos\left( \frac{1}{x} \right) )
Используем цепное правило:
[
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{1}{x} \right)^2}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = \frac{1/x^2}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}
]
ж) ( y = \tan\left( \frac{ln(2)}{2} \right) )
Так как эта функция является константой, производная равна нулю:
[
\frac{dy}{dx} = 0
]
з) ( y = e^{-x} + x )
Для этой функции производная:
[
\frac{dy}{dx} = -e^{-x} + 1
]
и) ( y = \arctan(e^2 + x) )
Используем цепное правило:
[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (e^2 + x)^2} \cdot 1 = \frac{1}{1 + (e^2 + x)^2}
]
к) ( y = \sin^2(x) )
Здесь применяем цепное правило:
[
\frac{dy}{dx} = 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)
]
л) ( y = 3 \arctan(x) - 2 )
Для этой функции производная:
[
\frac{dy}{dx} = \frac{3}{1 + x^2}
]
м) ( y = 4x^4 + 4 )
Простая производная:
[
\frac{dy}{dx} = 16x^3
]
2. Найти (\frac{dy}{dx}):
а) ( \ln y = \cos(xy) - 7 )
Применим неявное дифференцирование:
[
\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = -\sin(xy)(y + x \frac{dy}{dx}) \quad \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y(-\sin(xy)(y))}{1 + x(-\sin(xy)(\frac{dy}{dx}))}
]
б) ( 2y^2 + 2 - \cot(y) = 3x )
Снова используем неявное дифференцирование:
[
4y\frac{dy}{dx} - \csc^2(y) \frac{dy}{dx} = 3 \quad \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3}{4y - \csc^2(y)}
]
в) ( y = \ln(t) \cdot \sin(x) = t \cdot x )
Здесь используем правила производной:
[
\frac{dy}{dx} = 0 + \cos(x)\frac{dt}{dx} + \sin(x) = \sin(x) + t \frac{dt}{dx}
]
3. Найти (\frac{d^2y}{dx^2}):
( y = x \arcsin(x) - 1 - x^4 )
Сначала находим первую производную:
[
\frac{dy}{dx} = \arcsin(x) + x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - 4x^3
]
Далее находим вторую производную ( \frac{d^2y}{dx^2} ) от полученного выражения.
4. Найти дифференциал функции:
( y = \arctan(\cos(2x)) )
Найдём дифференциал:
( dy = -\frac{2\sin(2x)}{1 + \cos^2(2x)} dx )
5. Составить уравнения касательной и нормали к кривой ( y = 4x^3 - 3x^2 ) в точке (1; 0):
Сначала находим производную:
[
\frac{dy}{dx} = 12x^2 - 6x
]
В точке (1,0):
[
\frac{dy}{dx} = 12(1^2) - 6(1) = 6
]
Уравнение касательной: ( y - 0 = 6(x - 1) ) или ( y = 6x - 6 ).
Уравнение нормали (перпендикулярно касательной):
[
y - 0 = -\frac{1}{6}(x - 1) \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{6}x + \frac{1}{6}
]
Надеюсь, это поможет вам в подготовке к экзаменам! Если будут вопросы по каждому шагу, не стесняйтесь спрашивать!
