1. Найти производные: а) 3 2 3 5 2 1  7   x  x y x б) y (x 1)sin x 3   в) x x y cos  г) sin  3  x tgx y д) x x y sin 2   е) x x y 1 arccos   ж) ln( 2 ) 2 y  tg x з)…

Конечно! Давайте разберем каждую часть вашего задания по нахождению производных и другим задачам.

1. Найти производные:

а) \( y = 7 + 3x^2 + 2x^5 + x^3 \)
Для нахождения производной используем правило степени:
\[ \frac{dy}{dx} = 0 + 6x + 10x^4 + 3x^2 = 10x^4 + 6x + 3x^2 \]

б) \( y = (x + 1) \sin x \)
Применяем правило произведения:
\[ \frac{dy}{dx} = (x + 1) \cos x + \sin x \cdot 1 = (x + 1) \cos x + \sin x \]

в) \( y = \cos(x) \cdot x \)
Снова используем правило произведения:
\[ \frac{dy}{dx} = -\sin(x) \cdot x + \cos(x) \cdot 1 = -x \sin(x) + \cos(x) \]

г) \( y = \tan(x) + \sin(x) \)
Нахождение производной:
\[ \frac{dy}{dx} = \sec^2(x) + \cos(x) \]

д) \( y = \sin^2(x) + x \)
Здесь нужно использовать правило цепи:
\[ \frac{dy}{dx} = 2\sin(x) \cos(x) + 1 = \sin(2x) + 1 \]

е) \( y = \arccos\left( \frac{1}{x} \right) \)
Используем цепное правило:
\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - \left( \frac{1}{x} \right)^2}} \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = \frac{1/x^2}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} \]

ж) \( y = \tan\left( \frac{ln(2)}{2} \right) \)
Так как эта функция является константой, производная равна нулю:
\[ \frac{dy}{dx} = 0 \]

з) \( y = e^{-x} + x \)
Для этой функции производная:
\[ \frac{dy}{dx} = -e^{-x} + 1 \]

и) \( y = \arctan(e^2 + x) \)
Используем цепное правило:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (e^2 + x)^2} \cdot 1 = \frac{1}{1 + (e^2 + x)^2} \]

к) \( y = \sin^2(x) \)
Здесь применяем цепное правило:
\[ \frac{dy}{dx} = 2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x) \]

л) \( y = 3 \arctan(x) - 2 \)
Для этой функции производная:
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{3}{1 + x^2} \]

м) \( y = 4x^4 + 4 \)
Простая производная:
\[ \frac{dy}{dx} = 16x^3 \]

2. Найти \(\frac{dy}{dx}\):

а) \( \ln y = \cos(xy) - 7 \)
Применим неявное дифференцирование:
\[ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = -\sin(xy)(y + x \frac{dy}{dx}) \quad \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y(-\sin(xy)(y))}{1 + x(-\sin(xy)(\frac{dy}{dx}))} \]

б) \( 2y^2 + 2 - \cot(y) = 3x \)
Снова используем неявное дифференцирование:
\[ 4y\frac{dy}{dx} - \csc^2(y) \frac{dy}{dx} = 3 \quad \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3}{4y - \csc^2(y)} \]

в) \( y = \ln(t) \cdot \sin(x) = t \cdot x \)
Здесь используем правила производной:
\[ \frac{dy}{dx} = 0 + \cos(x)\frac{dt}{dx} + \sin(x) = \sin(x) + t \frac{dt}{dx} \]

3. Найти \(\frac{d^2y}{dx^2}\):

\( y = x \arcsin(x) - 1 - x^4 \)
Сначала находим первую производную:
\[ \frac{dy}{dx} = \arcsin(x) + x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - 4x^3 \] Далее находим вторую производную \( \frac{d^2y}{dx^2} \) от полученного выражения.

4. Найти дифференциал функции:

\( y = \arctan(\cos(2x)) \)
Найдём дифференциал:
\( dy = -\frac{2\sin(2x)}{1 + \cos^2(2x)} dx \)

5. Составить уравнения касательной и нормали к кривой \( y = 4x^3 - 3x^2 \) в точке (1; 0):

Сначала находим производную:
\[ \frac{dy}{dx} = 12x^2 - 6x \] В точке (1,0):
\[ \frac{dy}{dx} = 12(1^2) - 6(1) = 6 \] Уравнение касательной: \( y - 0 = 6(x - 1) \) или \( y = 6x - 6 \).
Уравнение нормали (перпендикулярно касательной):
\[ y - 0 = -\frac{1}{6}(x - 1) \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{6}x + \frac{1}{6} \]

Надеюсь, это поможет вам в подготовке к экзаменам! Если будут вопросы по каждому шагу, не стесняйтесь спрашивать!