2. В равнобокой трапеции АВСМ большее основание AM равно 20 см, высота ВН отсекает от AM отрезок АН, равный 6 см. Угол ВАМ равен 45°. Найдите площадь трапеции.

Для решения задачи найдем длину меньшего основания BC и, следовательно, площадь трапеции ABCM.

1. Рассмотрим треугольник ABN. У нас есть:
   • Высота BH (она же BN) равна 6 см (отрезок AH).
   • Угол BAM равен 45°.

Так как угол равен 45°, то в равнобой трапеции угол ABN тоже равен 45° (поскольку ABCM является равнобокой трапецией).

2. Теперь, зная, что угол ABN равен 45°, можем найти длину AB с помощью тригонометрии. Мы можем использовать тангенс угла: \[ \tan(45°) = \frac{BH}{AN} = 1. \] Следовательно: \[ AN = BH = 6 \text{ см}. \]

3. Теперь можем найти длину меньшего основания BC:

   • AM = 20 см
   • AN = 6 см
   • BN = 6 см (так как трапеция равнобокая, и отрезок AH равен BN).

Длина основания BC равна: \[ BC = AM - AN - BN = 20 - 6 - 6 = 8 \text{ см}. \]

4. Теперь мы можем найти площадь трапеции по формуле: \[ S = \frac{(a + b)h}{2}, \] где:
   • \( a = AM = 20 \text{ см} \),
   • \( b = BC = 8 \text{ см} \),
   • \( h = BH = 6 \text{ см} \).

Подставляем значения: \[ S = \frac{(20 + 8) \cdot 6}{2} = \frac{28 \cdot 6}{2} = \frac{168}{2} = 84 \text{ см}^2. \]

Таким образом, площадь трапеции ABCM равна 84 см².