Үшбұрышты дұрыс қиық пирамида табандарының қабырғалары 4дм және 1дм. Бүйір қыры 2 дм. Пирамида биіктігін табындар.
Чтобы найти высоту (h) правильной треугольной усеченной пирамиды, нужно использовать некоторые геометрические соотношения.
В данной задаче у нас есть основания пирамиды: верхнее основание — треугольник со стороной 1 дм, а нижнее основание — треугольник со стороной 4 дм. Боковое ребро пирамиды равно 2 дм.
Для нахождения высоты пирамиды, мы сначала найдем высоты каждого из оснований и потом используем теорему Пифагора.
Найдём высоты оснований. Для равностороннего треугольника высота (h) вычисляется по формуле:
\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \]
где \( a \) – длина стороны треугольника.
- Для основания со стороной 4 дм:
\[ h_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 2\sqrt{3} \, \text{дм} \]
- Для основания со стороной 1 дм:
\[ h_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \, \text{дм} \]
Теперь находим разницу высот. Эта разница будет равна высоте усечённой пирамиды:
\[ \Delta h = h_1 - h_2 = 2\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Сначала приведём 2\sqrt{3} к общему знаменателю:
\[ 2\sqrt{3} = \frac{4\sqrt{3}}{2} \]
Соответственно:
\[ \Delta h = \frac{4\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \]
Используем теорему Пифагора. Теперь найдем высоту пирамиды (h), используя боковое ребро (l = 2 дм):
\[ l^2 = \Delta h^2 + r^2 \]
Здесь \( r \) — радиус окружности, вписанной в основания. Для равностороннего треугольника радиус рассчитывается по формуле:
\[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \]
- Для нижнего основания:
\[ r_1 = \frac{4 \sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \, \text{дм} \]
- Для верхнего основания:
\[ r_2 = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6} \, \text{дм} \]
Разность радиусов:
\[ \Delta r = r_1 - r_2 = \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{4\sqrt{3}}{6} - \frac{\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Подставим значения в теорему Пифагора:
\[ 2^2 = h^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \]
Получаем:
\[ 4 = h^2 + \frac{3}{4} \]
Переносим:
\[ h^2 = 4 - \frac{3}{4} = \frac{16}{4} - \frac{3}{4} = \frac{13}{4} \]
Поэтому:
\[ h = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2} \, \text{дм} \]
Таким образом, высота усечённой пирамиды составляет \(\frac{\sqrt{13}}{2}\) дм.
