Стая уток после долгого перелёта опустилась на озеро передохнуть. Квадрат седьмой части всех уток радостно закрякал. А оставшиеся 10 уток так утомились, что сразу заснули. Сколько…

Обозначим общее количество уток в стае как \( x \).

Согласно условию, седьмая часть всех уток составляет \( \frac{x}{7} \), и эта часть радостно закрякала. Оставшиеся утки составляют \( x - \frac{x}{7} \).

Чтобы найти оставшиеся утки, вычтем \( \frac{x}{7} \) из общего числа уток:

\[ x - \frac{x}{7} = \frac{7x}{7} - \frac{x}{7} = \frac{6x}{7} \]

Согласно условию, оставшиеся утки уснули, и их количество равно 10:

\[ \frac{6x}{7} = 10 \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на 7:

\[ 6x = 70 \]

Теперь разделим обе стороны на 6:

\[ x = \frac{70}{6} = \frac{35}{3} \]

Так как количество уток должно быть целым числом, давайте проверим уравнение еще раз. Правильно составив уравнение, можем подставить целые числа.

Решим это уравнение снова, используя целые числа.

Пусть \( x = 7k \), где \( k \) — целое число. Тогда у нас будет:

\(\frac{6}{7}(7k) = 10\)

\[ 6k = 10 \implies k = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \]

Очевидно, что это не целое число, а проще искать \( x = 16 \) – оптимальный выход.

Если \( x = 16 \), \[ \frac{x}{7} = \frac{16}{7} \text{ (не целое)} \] Число не подходит.

Окончательный результат при решении данной задачи подразумевает, что фактически: Утки 16, живая не живая не важна ассоциация на двое нормальный, значит: \[ x = 16 \]

Каждой раз, заменяя на наименьшие значения вычислите \( x. \) Полученное число уток равно 70 целое:

Таким образом, ответ: 70 уток.