Плоскость а проходит через основание AD трапеции ABCD. Точки E и F являются серединами сторон AB и CD соответственно. Докажите, что прямая EF параллельна плоскости
Решить через Дано
Чтобы доказать, что прямая \( EF \) параллельна плоскости \( \alpha \), проходящей через основание \( AD \) трапеции \( ABCD \), рассмотрим следующее.
**Дано:**
1. Трапеция \( ABCD \) с основанием \( AD \).
2. Точки \( E \) и \( F \) – середины сторон \( AB \) и \( CD \) соответственно.
**Докажем, что прямая \( EF \) параллельна плоскости \( \alpha \).**
1. Сначала обозначим координаты точек:
- Пусть \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \) и \( D(x_4, y_4) \).
- Тогда точки \( E \) и \( F \) будут иметь координаты:
\[
E\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right),
\]
\[
F\left( \frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2} \right).
\]
2. Поскольку \( ABCD \) – трапеция, то стороны \( AB \) и \( CD \) являются параллельными. Это означает, что векторы, направленные вдоль этих сторон, одинаково наклонены. Если привести их к векторной форме, можно записать:
\[
\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1),
\]
\[
\vec{CD} = (x_4 - x_3, y_4 - y_3).
\]
3. Поскольку \( AB \parallel CD \), то векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \) пропорциональны:
\[
(x_2 - x_1, y_2 - y_1) \parallel (x_4 - x_3, y_4 - y_3).
\]
4. Теперь определим вектор \( \vec{EF} \):
\[
\vec{EF} = F - E = \left( \frac{x_3 + x_4}{2} - \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2} - \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = \left( \frac{x_3 + x_4 - x_1 - x_2}{2}, \frac{y_3 + y_4 - y_1 - y_2}{2} \right).
\]
5. Поскольку точки \( E \) и \( F \) расположены в серединах параллельных сторон, векторы \( \vec{EF} \) и \( \vec{AB} \) будут также параллельны:
\[
\vec{EF} \parallel \vec{AB} \parallel \vec{CD}.
\]
6. Плоскость \( \alpha \), проходящая через основание \( AD \), содержит векторы \( \vec{AD} \) и \( \vec{AB} \) (или \( \vec{CD} \)). Поскольку прямая \( EF \) параллельна как основанию \( AD \), так и стороне \( AB \), она будет лежать в одной плоскости с этими линиями.
**Следовательно, прямая \( EF \) лежит в плоскости \( \alpha \) и параллельна ей.**
Это завершает доказательство.
