Для того чтобы рассчитать вероятность того, что при 9 бросках монеты «орел» выпадет ровно 4 раза, можно использовать формулу биномиального распределения.
Сначала давайте определим необходимые параметры:
- ( n = 9 ) — общее количество бросков.
- ( k = 4 ) — количество выпадений «орла».
- ( p = 0.5 ) — вероятность выпадения «орла» в каждом броске монеты.
Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:
[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
]
где ( C(n, k) ) — это биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Теперь подставим наши значения в формулу:
- Сначала вычислим биномиальный коэффициент ( C(9, 4) ):
[
C(9, 4) = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4! \cdot 5!}
]
Посчитаем факториалы:
[
9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!
]
Теперь подставим:
[
C(9, 4) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{3024}{24} = 126
]
- Теперь подставим значения в формулу вероятности:
[
P(X = 4) = C(9, 4) \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{9-4}
]
Это можно упростить до:
[
P(X = 4) = 126 \cdot (0.5)^9
]
Теперь вычислим ( (0.5)^9 ):
[
(0.5)^9 = \frac{1}{512}
]
- Таким образом, окончательно:
[
P(X = 4) = 126 \cdot \frac{1}{512} = \frac{126}{512} = \frac{63}{256}
]
Вероятность того, что при 9 бросках монеты «орел» выпадет ровно 4 раза, составляет ( \frac{63}{256} ), что примерно равно 0.2461 или 24.61%.
Если есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь задавать!
