Чтобы найти угол между прямой \( a_1c \) и плоскостью \( abd \) в единичном кубе \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), начнем с определения соответствующих векторов.
1. **Координаты вершин куба**:
- \( A(0, 0, 0) \)
- \( B(1, 0, 0) \)
- \( C(1, 1, 0) \)
- \( D(0, 1, 0) \)
- \( A_1(0, 0, 1) \)
- \( B_1(1, 0, 1) \)
- \( C_1(1, 1, 1) \)
- \( D_1(0, 1, 1) \)
2. **Определим векторы**:
- Вектор \( a_1c \) имеет координаты:
\[
\vec{a_1c} = C(1, 1, 0) - A_1(0, 0, 1) = (1, 1, -1)
\]
3. **Найдем нормальный вектор плоскости \( abd \)**:
- Для этого возьмем два вектора, лежащих в плоскости:
\[
\vec{ab} = B(1, 0, 0) - A(0, 0, 0) = (1, 0, 0)
\]
\[
\vec{ad} = D(0, 1, 0) - A(0, 0, 0) = (0, 1, 0)
\]
- Нормальный вектор \( \vec{n} \) к плоскости \( abd \) вычисляется как векторное произведение \( \vec{ab} \) и \( \vec{ad} \):
\[
\vec{n} = \vec{ab} \times \vec{ad} = (1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 0, 1)
\]
4. **Найдем угол между вектором и нормальным вектором**:
- Угол \( \phi \) между вектором \( \vec{a_1c} \) и нормальным вектором \( \vec{n} \) определяется по формуле:
\[
\cos(\phi) = \frac{|\vec{a_1c} \cdot \vec{n}|}{|\vec{a_1c}| |\vec{n}|}
\]
5. **Считаем скалярное произведение**:
- Скалярное произведение:
\[
\vec{a_1c} \cdot \vec{n} = (1, 1, -1) \cdot (0, 0, 1) = -1
\]
6. **Нормы векторов**:
- Длина \( |\vec{a_1c}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3} \)
- Длина \( |\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \)
7. **Подставляем в формулу**:
\[
\cos(\phi) = \frac{|-1|}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]
8. **Находим угол**:
\[
\phi = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)
\]
Таким образом, угол между прямой \( a_1c \) и плоскостью \( abd \) равен \( \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \).
