Задумали четырехзначное число, все цифры которого различны, вторая и третья цифры которого равны 3 и 8. Из него вычли четырехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 2547. Найдите сумму трех наименьших чисел, удовлетворяющих таким условиям.

Для решения данной задачи, давайте начнем с обозначения нашего четырехзначного числа. Оно выглядит следующим образом: \[ A = abcd \] где \( b = 3 \) и \( c = 8 \). Таким образом, мы можем выразить число \( A \) как: \[ A = a38d \] Теперь давайте запишем число, составленное из тех же цифр, но в обратном порядке: \[ B = d83a \] Согласно условию задачи, разность этих чисел равна 2547: \[ A - B = 2547 \] Теперь подставим выражения для \( A \) и \( B \): \[ (a38d) - (d83a) = 2547 \] Перепишем это уравнение, используя десятичные значения: \[ (1000a + 300 + 80 + d) - (1000d + 800 + 30 + a) = 2547 \] Соберем все вместе: \[ 1000a + 380 + d - 1000d - 830 - a = 2547 \] Упростим это уравнение: \[ 999a - 999d - 450 = 2547 \] Теперь добавим 450 к обеим сторонам: \[ 999a - 999d = 2997 \] Делим обе стороны на 999: \[ a - d = 3 \] Теперь мы знаем, что первая цифра \( a \) на 3 больше последней цифры \( d \). Поскольку цифры должны быть разными, \( a \) и \( d \) могут принимать такие значения: - Если \( d = 1 \), то \( a = 4 \) - Если \( d = 2 \), то \( a = 5 \) - Если \( d = 3 \), то \( a = 6 \) - Если \( d = 4 \), то \( a = 7 \) - Если \( d = 5 \), то \( a = 8 \) - Если \( d = 6 \), то \( a = 9 \) Однако так как \( a \) и \( d \) должны быть различными и находиться в диапазоне от 0 до 9, возможные пары \((a, d)\) таковы: 1. \( (4, 1) \) → \( 4381 \) 2. \( (5, 2) \) → \( 5382 \) 3. \( (6, 3) \) → \( 6383 \) (пропускаем, неразличные цифры) 4. \( (7, 4) \) → \( 7384 \) 5. \( (8, 5) \) → \( 8385 \) 6. \( (9, 6) \) → \( 9386 \) Теперь, имея допустимые значения \( a \) и \( d \), можем составить числа: - \( 4381 \) - \( 5382 \) - \( 7384 \) - \( 8385 \) - \( 9386 \) Теперь нам необходимо найти три наименьших из них и сложить: 1. \( 4381 \) 2. \( 5382 \) 3. \( 7384 \) Сложим эти числа: \[ 4381 + 5382 + 7384 = 17147 \] Таким образом, сумма трех наименьших чисел, удовлетворяющих условиям задачи, равна: **17147**.