Вариант 1 1. Решите неравенство : a) 2x + 6x 2 0 ; б) x < 9 . 2. Решите неравенство: a) x2 - 15x + 56 < 0; б) 3х2 - 6x + 32 > 0. 3. Решите неравенство, используя метод интервалов:…

Давайте последовательно решим каждую задачу.

1. Решите неравенство:

а) \(2x + 6x \geq 0\)

Комбинируем похожие члены:

\[ 8x \geq 0 \]

Теперь делим обе стороны на 8 (помните, что знак неравенства не меняется, так как мы делим на положительное число):

\[ x \geq 0 \]

б) \(x < 9\)

Это неравенство само по себе уже задано, его решение:

\[ x < 9 \]

2. Решите неравенство:

а) \(x^2 - 15x + 56 < 0\)

Сначала найдем корни уравнения \(x^2 - 15x + 56 = 0\) с помощью дискриминанта:

\[ D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1 \]

Следовательно, корни будут:

\[ x_1 = \frac{15 + \sqrt{1}}{2} = 8, \quad x_2 = \frac{15 - \sqrt{1}}{2} = 7 \]

Теперь можем разложить неравенство:

\[ (x - 7)(x - 8) < 0 \]

И проверяем знаки на интервалах: \( (-\infty, 7), (7, 8), (8, +\infty)\).

• Для \(x < 7\) (например, \(x = 0\)): \((0 - 7)(0 - 8) > 0\)
• Для \(7 < x < 8\) (например, \(x = 7.5\)): \((7.5 - 7)(7.5 - 8) < 0\)
• Для \(x > 8\) (например, \(x = 9\)): \((9 - 7)(9 - 8) > 0\)

Итак, решение:

\[ 7 < x < 8 \]

б) \(3x^2 - 6x + 32 > 0\)

Найдем дискриминант:

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 32 = 36 - 384 = -348 \]

Так как дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней, и парабола, открывающаяся вверх, всегда положительна:

\[ 3x^2 - 6x + 32 > 0 \quad \text{для всех } x \]

3. Решите неравенство, используя метод интервалов:

а) \((x + 8)(x - 4) > 0\)

Найдем нули: \(x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8\) и \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\).

Интервалы:

\( (-\infty, -8), (-8, 4), (4, +\infty) \).

Проверим знаки на интервалах:

• Для \(x < -8\) (например, \(x = -9\)): \((-)(-) > 0\) (положительно)
• Для \(-8 < x < 4\) (например, \(x = 0\)): \((+)(-) < 0\) (отрицательно)
• Для \(x > 4\) (например, \(x = 5\)): \((+)(+) > 0\) (положительно)

Решение:

\[ x < -8 \quad \text{или} \quad x > 4 \]

4. Решите неравенство:

\((x + 1)(x - 3)^2 \geq 0\)

Нули: \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\) и \((x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3\).

Интервалы:

\( (-\infty, -1), (-1, 3), (3, +\infty) \).

Проверим знаки:

• Для \(x < -1\) (например, \(x = -2\)): \((-)(+) > 0\) (положительно)
• Для \(-1 < x < 3\) (например, \(x = 0\)): \((+)(+) > 0\) (положительно)
• Для \(x > 3\) (например, \(x = 4\)): \((+)(+) > 0\) (положительно)

Особые точки: в \(-1\) и \(3\). Так как \( (x - 3)^2 \) не может быть отрицательным, у нас получится следующее решение:

\[ x \in [-1, 3] \quad \text{и} \quad x \in (3, +\infty) \]

5. Найдите область определения функции \(y = x(x - 0.6)(1.2 - x)\).

Функция определена, когда все множители не равны нулю и выражение под корнем (если будет) положительно.

Множители:

1. \(x \) может принимать любые значения.
2. \( x - 0.6 \geq 0 \Rightarrow x \geq 0.6 \)
3. \(1.2 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1.2\)

Таким образом, область определения:

\[ 0.6 \leq x \leq 1.2 \]

Если будут дополнительные вопросы, смело спрашивайте!