Давайте последовательно решим каждую задачу.
1. Решите неравенство:
а) (2x + 6x \geq 0)
Комбинируем похожие члены:
[
8x \geq 0
]
Теперь делим обе стороны на 8 (помните, что знак неравенства не меняется, так как мы делим на положительное число):
[
x \geq 0
]
б) (x < 9)
Это неравенство само по себе уже задано, его решение:
[
x < 9
]
2. Решите неравенство:
а) (x^2 - 15x + 56 < 0)
Сначала найдем корни уравнения (x^2 - 15x + 56 = 0) с помощью дискриминанта:
[
D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 225 - 224 = 1
]
Следовательно, корни будут:
[
x_1 = \frac{15 + \sqrt{1}}{2} = 8, \quad x_2 = \frac{15 - \sqrt{1}}{2} = 7
]
Теперь можем разложить неравенство:
[
(x - 7)(x - 8) < 0
]
И проверяем знаки на интервалах: ( (-\infty, 7), (7, 8), (8, +\infty)).
- Для (x < 7) (например, (x = 0)): ((0 - 7)(0 - 8) > 0)
- Для (7 < x < 8) (например, (x = 7.5)): ((7.5 - 7)(7.5 - 8) < 0)
- Для (x > 8) (например, (x = 9)): ((9 - 7)(9 - 8) > 0)
Итак, решение:
[
7 < x < 8
]
б) (3x^2 - 6x + 32 > 0)
Найдем дискриминант:
[
D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 32 = 36 - 384 = -348
]
Так как дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней, и парабола, открывающаяся вверх, всегда положительна:
[
3x^2 - 6x + 32 > 0 \quad \text{для всех } x
]
3. Решите неравенство, используя метод интервалов:
а) ((x + 8)(x - 4) > 0)
Найдем нули: (x + 8 = 0 \Rightarrow x = -8) и (x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4).
Интервалы:
( (-\infty, -8), (-8, 4), (4, +\infty) ).
Проверим знаки на интервалах:
- Для (x < -8) (например, (x = -9)): ((-)(-) > 0) (положительно)
- Для (-8 < x < 4) (например, (x = 0)): ((+)(-) < 0) (отрицательно)
- Для (x > 4) (например, (x = 5)): ((+)(+) > 0) (положительно)
Решение:
[
x < -8 \quad \text{или} \quad x > 4
]
4. Решите неравенство:
((x + 1)(x - 3)^2 \geq 0)
Нули: (x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1) и ((x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3).
Интервалы:
( (-\infty, -1), (-1, 3), (3, +\infty) ).
Проверим знаки:
- Для (x < -1) (например, (x = -2)): ((-)(+) > 0) (положительно)
- Для (-1 < x < 3) (например, (x = 0)): ((+)(+) > 0) (положительно)
- Для (x > 3) (например, (x = 4)): ((+)(+) > 0) (положительно)
Особые точки: в (-1) и (3). Так как ( (x - 3)^2 ) не может быть отрицательным, у нас получится следующее решение:
[
x \in [-1, 3] \quad \text{и} \quad x \in (3, +\infty)
]
5. Найдите область определения функции (y = x(x - 0.6)(1.2 - x)).
Функция определена, когда все множители не равны нулю и выражение под корнем (если будет) положительно.
Множители:
- (x ) может принимать любые значения.
- ( x - 0.6 \geq 0 \Rightarrow x \geq 0.6 )
- (1.2 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1.2)
Таким образом, область определения:
[
0.6 \leq x \leq 1.2
]
Если будут дополнительные вопросы, смело спрашивайте!
