Решение задачи можно разбить на несколько этапов. Давайте обозначим скорость работы первой бригады как ( x ) (в картофеле, выкопанном за час), а скорость работы второй бригады как ( y ).
Из условия задачи мы знаем следующее:
Обе бригады вместе выкопали картофель за 5 часов. Значит, общее количество работы, выполненной двумя бригадами, можно выразить как:
[
(x + y) \times 5 = W,
]
где ( W ) – общее количество картофеля на поле.
Если первая бригада работает в два раза медленнее, а вторая – в два раза быстрее, то её скорость работы составит ( \frac{x}{2} ), а второй бригады – ( 2y ). Тогда они выкопают картофель за 4 часа:
[
\left(\frac{x}{2} + 2y\right) \times 4 = W.
]
Теперь мы имеем две уравнения:
- ( 5(x + y) = W )
- ( 4\left(\frac{x}{2} + 2y\right) = W )
Теперь можем приравнять оба выражения к ( W ):
[
5(x + y) = 4\left(\frac{x}{2} + 2y\right).
]
Упрощаем второе уравнение:
[
5(x + y) = 4\left(\frac{x}{2}\right) + 8y,
]
что дает:
[
5x + 5y = 2x + 8y.
]
Переносим все члены с ( x ) и ( y ) в одну сторону:
[
5x - 2x = 8y - 5y \Rightarrow 3x = 3y \Rightarrow x = y.
]
Теперь подставим ( x = y ) в первое уравнение:
[
5(x + y) = 5(2x) = 10x = W.
]
Теперь найдем, сколько времени потребуется первой бригаде, чтобы выкопать весь картофель в одиночку. Мы знаем, что для обеих бригад вместе требуется 5 часов:
[
W = 10x.
]
Следовательно, если работает только первая бригада (со скоростью ( x )):
[
T_1 = \frac{W}{x} = \frac{10x}{x} = 10 \text{ часов}.
]
Таким образом, первая бригада могла бы выкопать картофель с поля за 10 часов, если бы работала одна.
