Найти 3/4 площади криволинейной трапеции, ограниченной линией y = - x ^ 2 + 4x - 3 и осью абсцисс.
Чтобы найти 3/4 площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой \(y = -x^2 + 4x - 3\) и осью абсцисс, сначала необходимо произвести несколько шагов.
Найдем точки пересечения кривой и оси абсцисс. Для этого нужно решить уравнение \(y = 0\): \[ -x^2 + 4x - 3 = 0. \] Это квадратное уравнение можно привести к стандартному виду: \[ x^2 - 4x + 3 = 0. \] Теперь найдем корни уравнения с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4. \] Теперь используем формулу для нахождения корней: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm 2}{2} = \{3, 1\}. \] Таким образом, точки пересечения с осью абсцисс: \(x = 1\) и \(x = 3\).
Вычислим площадь, заключенную между кривой и осью абсцисс. Площадь будет определяться интегралом от 1 до 3: \[ S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx. \]
Выполним интегрирование: \[ \int (-x^2 + 4x - 3) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x + C. \]
Теперь подставим пределы интегрирования: \[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{3}. \] Сначала подставим верхний предел \(x = 3\): \[ -\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 = -9 + 18 - 9 = 0. \] Затем подставим нижний предел \(x = 1\): \[ -\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 = -\frac{1}{3} + 2 - 3 = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3}. \] Теперь, вычтем значения: \[ S = 0 - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}. \]
Теперь найдем 3/4 площади: \[ S_{\frac{3}{4}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} = 1. \]
Итак, \( \frac{3}{4} \) площади криволинейной трапеции составляет \( 1 \).
