3cos60°-2sin30°+6ctg60°-2ctg30°

Давайте разберем выражение по шагам: \( 3\cos 60° - 2\sin 30° + 6\cot 60° - 2\cot 30° \).

1. Находим значение \( \cos 60° \): \[ \cos 60° = \frac{1}{2} \] Это значение подставляем в выражение: \[ 3\cos 60° = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]

2. Находим значение \( \sin 30° \): \[ \sin 30° = \frac{1}{2} \] Подставляем это значение: \[ -2\sin 30° = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1 \]

3. Находим значение \( \cot 60° \) (котангенс равен косинус над синусом): \[ \cot 60° = \frac{\cos 60°}{\sin 60°} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Подставляем это значение: \[ 6\cot 60° = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \quad (\text{умножив на } \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \text{, мы получили } \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}) \]

4. Находим значение \( \cot 30° \): \[ \cot 30° = \frac{\cos 30°}{\sin 30°} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \] Подставляем это значение: \[ -2\cot 30° = -2\sqrt{3} \]

Теперь соберем всё вместе: \[ \frac{3}{2} - 1 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \]

Обратите внимание, что \( 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 0 \), и мы остаемся с: \[ \frac{3}{2} - 1 = \frac{3}{2} - \frac{2}{2} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, окончательный ответ: \[ \frac{1}{2} \]