f(x)=3x^2+12x

Давайте разберемся с функцией \( f(x) = 3x^2 + 12x \). Это квадратная функция, и ее график будет параболой.

1. Определение коэффициентов

Функция имеет вид \( ax^2 + bx + c \), где:

• \( a = 3 \) (коэффициент при \( x^2 \)),
• \( b = 12 \) (коэффициент при \( x \)),
• \( c = 0 \) (свободный член).

2. Вершина параболы

Вершина параболы, заданной квадратичной функцией, находится по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} \] Подставляем значения: \[ x_v = -\frac{12}{2 \cdot 3} = -\frac{12}{6} = -2 \]

Теперь найдем соответствующее значение \( f(x_v) \): \[ f(-2) = 3(-2)^2 + 12(-2) = 3(4) - 24 = 12 - 24 = -12 \] Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (-2, -12) \).

3. Нахождение нулей функции

Чтобы найти корни (нули) функции, приравняем ее к нулю: \[ 3x^2 + 12x = 0 \] Вынесем общий множитель: \[ 3x(x + 4) = 0 \] Решим уравнение:

1. \( 3x = 0 \) \(\Rightarrow x = 0\)
2. \( x + 4 = 0 \) \(\Rightarrow x = -4\)

Таким образом, корни функции: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -4 \).

4. Область определения и значения

Эта квадратичная функция определена для всех действительных чисел, а значения \( f(x) \) могут принимать значения от \( -12 \) (в вершине) до бесконечности, так как парабола открыта вверх.

5. График функции

График функции будет параболой, которая пересекает ось \( y \) в точке \( (0, 0) \) и имеет минимальное значение в точке \( (-2, -12) \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими аспектами этой функции, не стесняйтесь задавать!