Давайте решим эту задачу, используя таблицу для наглядности. Сначала определим переменные:
- Пусть скорость автобуса — ( V_a ) (км/ч).
- Тогда скорость такси — ( V_t = V_a + 20 ) (км/ч).
- Расстояние до вокзала — 40 км.
- Время в пути автобуса — ( T_a ) (часы).
- Время в пути такси — ( T_t ) (часы).
Поскольку автобус проезжает 40 км, мы можем выразить время в пути автобуса через его скорость:
[
T_a = \frac{40}{V_a}
]
Такси выехало на 10 минут позднее, что в часах составляет ( \frac{10}{60} = \frac{1}{6} ) часа. Таким образом, время в пути такси можно выразить как:
[
T_t = T_a - \frac{1}{6} = \frac{40}{V_a} - \frac{1}{6}
]
Расстояние, проеденное такси, также составляет 40 км, значит:
[
T_t = \frac{40}{V_t}
]
Подставим ( V_t ):
[
T_t = \frac{40}{V_a + 20}
]
Теперь приравняем два выражения для времени такси:
[
\frac{40}{V_a + 20} = \frac{40}{V_a} - \frac{1}{6}
]
Теперь решим это уравнение. Умножим обе части уравнения на ( V_a(V_a + 20) ), чтобы избавиться от дробей:
[
40V_a = 40(V_a + 20) - \frac{V_a(V_a + 20)}{6}
]
Упрощаем:
[
40V_a = 40V_a + 800 - \frac{V_a^2 + 20V_a}{6}
]
Сокращаем ( 40V_a ) с обеих сторон:
[
0 = 800 - \frac{V_a^2 + 20V_a}{6}
]
Умножим на 6:
[
0 = 4800 - V_a^2 - 20V_a
]
Преобразуем уравнение:
[
V_a^2 + 20V_a - 4800 = 0
]
Теперь применим формулу квадратного уравнения ( V_a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ):
[
a = 1, \quad b = 20, \quad c = -4800
]
Находим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600
]
Теперь находим корни:
[
V_a = \frac{-20 \pm \sqrt{19600}}{2 \cdot 1} = \frac{-20 \pm 140}{2}
]
Получаем два возможных значения:
- ( V_a = \frac{120}{2} = 60 ) км/ч (принимаем, так как скорость не может быть отрицательной)
- ( V_a = \frac{-160}{2} = -80 ) км/ч (отбрасываем, так как скорость не может быть отрицательной)
Теперь находим скорость такси:
[
V_t = V_a + 20 = 60 + 20 = 80 \text{ км/ч}
]
Таким образом, результаты можно оформить в таблице:
| Транспорт |
Скорость (км/ч) |
Время в пути (часы) |
Расстояние (км) |
| Автобус |
60 |
40 / 60 = 2/3 |
40 |
| Такси |
80 |
40 / 80 = 1/2 |
40 |
Ответ:
Скорость автобуса — 60 км/ч, скорость такси — 80 км/ч.
