В треугольнике ABC известно что AC=BC, AB=3 корня из 10, и высота AH=3. Найдите tg(<BAC)

В треугольнике ABC с равными сторонами AC и BC (т.е. треугольник равнобедренный) и высотой AH, проведенной из вершины A к основанию BC, можно найти тангенс угла BAC.

Обозначим:

• AC = BC = x (равные стороны)
• AB = 3√10
• AH = 3

Пусть H — основание высоты AH на стороне BC. Поскольку AH является высотой, то BH = CH, и обозначим BH = CH = y. Таким образом, можем записать:

1. BH + CH = BC (или AC): \[ y + y = x \implies 2y = x \implies y = \frac{x}{2} \]

Теперь применим теорему Пифагора для треугольников ABH и AHC:

1. Для треугольника ABH: \[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \] \[ (3\sqrt{10})^2 = 3^2 + y^2 \] \[ 90 = 9 + \left(\frac{x}{2}\right)^2 \] \[ 90 = 9 + \frac{x^2}{4} \] \[ 81 = \frac{x^2}{4} \] \[ x^2 = 324 \implies x = 18 \]

Теперь мы знаем, что AC = BC = 18, а BH = CH = 9.

Теперь можем найти тангенс угла BAC:

\[ \tan(\angle BAC) = \frac{AH}{BH} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]

Ответ: \[ \tan(\angle BAC) = \frac{1}{3} \]